Liegen die 4 Punkte in einer Ebene? Ansätze

Question

ich soll nachweisen ob folgende 4 Punkte in einer Ebene liegen (oder ob Sie es nicht tun).

Die Punkte lauten:

A(2,-1,-5)

B(3,8,4)

C(-2,2,9)

D(0,0,0)

Kann ich dafür einfach die Vektoren

AB, AC, AD bilden ubd dann überprüfen ob das Spatprodukt 0 wird?

Im Internet hab ich immer nur gesehen, dass man erst 2 Vektoren (beispielsweise AB und AD) gebildet wurden um dann zu überprüfen ob diese ein vielfaches voneinander sind!

Und dann eine Ebenengleichung:

E: A + AB * r + AC * s= D aufgebaut um s und r zu bestimmen und zu überprüfen ob beim einsetzen von s und r etwas „wahres“ bei herauskommt!

Würde mich mal interessieren, da die beiden Lösungsansätze ja einen unterschiedlichen zeitaufwand haben.

Danke für die Hilfe

mfg

Answer 1

Kann ich dafür einfach die Vektoren

AB, AC, AD bilden ubd dann überprüfen ob das Spatprodukt 0 wird?

Kannst du machen.

Ich würde allerdings D als Anfangspunkt der drei Vektoren wählen.

Answer 2

AB, AC, AD bilden ubd dann überprüfen ob das Spatprodukt 0 wird?

Gute Idee, dann liegen die 4 Punkte in einer Ebene.

Wenn du allerdings hinterher mit dieser Ebene noch weiter

rechnen muss, ist der zweite Weg sinnvoller.

Answer 3

Die Lösung mit dem geringsten Zeitaufwand ist folgende :

Ebene B C D in Koordinatenform angeben mit D als Ortsvektor. Wegen D = [0,0,0] sind B und C identisch mit den Richtungsvektoren:

E = D + s B + t C

Nun prüft man, ob der Punkt A die Gleichung erfüllt. Man erkennt sofort, dass das nicht der Fall ist. Also liegen die 4 Punkte nicht auf einer Ebene.