Logarithmieren von 2^4 / 2^2x = 4^2 / 4^4x

Question

Ich hab hier folgende Übungsaufgabe zum Logarithmieren und stehe dabei auf dem Schlauch und bräuchte etwas Hilfe:

Löse unter anderem durch Logarithmieren die folgende Gleichung: 2^4 / 2^2x = 4^2 / 4^4x

Berechne x als konkreten Wert, und führe anschließend eine Probe durch.

Answer 1

$$ \frac{2^4}{2^{2x}}=\frac{4^2}{4^{4x}}\Leftrightarrow \frac{16}{\big(2^2\big)^x}=\frac{16}{4^{4x}} \Leftrightarrow \frac{16}{4^x}=\frac{16}{4^{4x}}\\\Leftrightarrow 4^{4x}=4^x\Leftrightarrow 0=4^{4x}-4^x=4^x\cdot(4^{3x}-1) $$

4^x wird nie 0, aber der Klammerasudruck schon:

$$ 0=4^{3x}-1\quad|+1\\1=4^{3x}\quad |\ln(.)\\\ln(1)=\ln(4^{3x})\\0=3x\cdot \ln(4)\quad|:(3\cdot\ln(4))\\x=0 $$

Answer 2

2^4 / 2^{2x} = 4^2 / 4^{4x}

2^{4-2x} = 4 ^{2-4x}

(4-2x) *ln(2)= (2-4x) * ln(4)

(4-2x) *ln(2)= (2-4x) * 2 ln(2) |: ln(2)

4-2x = (2-4x) * 2

4-2x =  4 -8x

-2x =   -8x

-2x +8x =0

6x=0

x=0 , die Probe bestätigt die Richtigkeit d. Lösung.