Kann mir jemand die Ableitung von f(x,y) = √(1-x^2-y^2) nach x erklären?

Question

warum kommt wenn man das hier   √(1-x^2-y^2) nach x ableitet  das raus = -x/√(1-x^2-y^2) raus?

Ich dachte da kommt einfach nur 1/2*(x^2-y^2+1)^-1/2  bei raus ??

Answer 1

crazymath! Es gilt
$$\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\quad\land\quad x>0.$$Diese Ableitung der Quadratwurzelfunktion wird in der Schulmathematik über den Grenzwert des Differenzenquotienten hergeleitet und ist wichtig genug, um sie zu kennen. Natürlich lässt sie sich aus dem genannten Grund auch den einschlägigen Formelsammlungen entnehmen.

Der Umweg über die Potenzregel, die in ihrer Allgemeingültigkeit in der Schulmathematik nicht(!) bewiesen wird und den du offenbar versucht hast, ist überflüssig und nicht sinnvoll!

Zusammen mit der Kettenregel gilt nun weiter
$$\left(\sqrt{v(x)}\right)'=\dfrac{v'(x)}{2\cdot\sqrt{v(x)}}\quad\land\quad v(x)>0.$$

Diese einfache Ableitungsregel führt am vorgelegten Beispiel unmittelbar zu

$$\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\sqrt{1-x^2-y^2} = \dfrac{-2x}{2\cdot\sqrt{1-x^2-y^2}}=\dots$$Das ist also eigentlich ein Einzeiler und kein Roman...

Answer 2

Hallo

Schreibe die Wurzel zu einer Potenz um, mit Hilfe von den Potenzgesetzen und erhalte:$$=(1-x^2-y^2)^{\frac{1}{2}}$$ Nun wende das Potenzgesetz \([u(x)^n]'=n\cdot u(x)^{n-1}\cdot u'(x)\) an und erhalte:$$\frac{1}{2}\cdot (-x^2-y^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (-x^2-y^2+1)$$ Nun leite \((-x^2-y^2+1)\) und erhalte dafür \(-2x\). Wir haben also nun:$$=\frac{1}{2}\cdot (-x^2-y^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (-2x)$$ Ich meine, dass sollte es sein! Vereinfachen kannst du natürlich noch beliebig.

Answer 3

Du hast denke ich die innere Ableitung vergessen:

f(x) = √(1 - x^2 - y^2) = (1 - x^2 - y^2)^{1/2}

Ableitung nach Kettenregel

f'(x) = 1/2 * (1 - x^2 - y^2)^{- 1/2} * (- 2 * x)

f'(x) = - (1 - x^2 - y^2)^{- 1/2} * x

f'(x) = - x / √(1 - x^2 - y^2)

Comments

Heißt das nicht Potenzregel?

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Potenzregel braucht man auch. Aber eben auch die Kettenregel.

x^{1/2} leitet man mit Potenzregel ab

(x^2 + x)^{1/2} leitet man mit Kettenregel und Potenzregel ab.

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Wenn wir nach \(x\) ableiten, dann ist das Ableiten für \((-x^2-y^2+1)\) linear

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(x^2 + x)^{1/2} leitet man mit Kettenregel und Potenzregel ab.

= 1/2 * (x^2+x)^{-0.5} *(x^2+x)    linear ableiten

= 1/2 * (x^2+x)^{-0.5} * (2x+1)

etc.

Answer 4

Bitte merken
( √ term ) ´ = term ´ / ( 2 * √ term  )
term = 1 - x^2 - y^2
term ´ ( x ) = -2x

( √ ( 1 - x^2 - y^2 ) ) ´ = ( -2x ) / ( 2 * √ ( 1 - x^2 - y^2 ) )
kürzen
( √ ( 1 - x^2 - y^2 ) ) ´ = - x /  √ ( 1 - x^2 - y^2 )