Wie beweist man diese Ungleichung? ny^{n-1}≤(x^n-y^n)/(x-y)≤ ny^{n-1} für alle n∈N\{0}. mit 0 ≤ y < x

Question

Zeigen Sie, dass für alle y, x ∈ R mit 0 ≤ y < x gilt:

ny^{n-1}<=(x^n-y^n)/(x-y)<=ny^{n-1} für alle n∈N\{0}.

Comments

Stimmt das überhaupt?

ny^{n-1}<=(x^{n}-y^{n})/(x-y)<=ny^{n-1} für alle n∈N\{0}.

Answer 1

$$\frac{x^n-y^n}{x-y}=x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}.$$

Answer 2

$$Hallöchen,\quad es\quad wäre\quad nett,\quad wenn\quad du\quad die\quad Aufgabe\quad einmal\quad richtig\quad in\quad einem\quad Editor\quad abtippen\quad würdest.\\ Also:\\ Sei\quad f(x)={ x }^{ n }.\\ Dann\quad ist\quad \quad \quad \quad \quad \frac { f(x)-f(y) }{ x-y } =\frac { { x }^{ n }-{ y }^{ n } }{ x-y } \quad und\quad f'(x)=n{ x }^{ n-1 }\\ Also\quad z.z:\quad Für\quad y<x:\\ \qquad \qquad \qquad f('y)\le \frac { f(x)-f(y) }{ x-y } \le f'(x)\quad \quad \quad \quad \quad (*)\\ Beweis:\quad Nach\quad dem\quad MWS\quad existiert\quad S\epsilon (y,x)\quad mit\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \frac { f(x)-f(y) }{ x-y } =f'(S)\\ Da\quad aber\quad f'(x)=n{ x }^{ n-1 }\quad monoton\quad wachsend\quad ist\quad gilt\\ \qquad \qquad \qquad f'(y)\le f'(S)\le f'(x),\quad da\quad y<S<x\\ Damit\quad ist\quad (*)\quad gezeigt.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad q.e.d.\\ \\ Müsste\quad so\quad passen...$$

Comments

Kleiner Einwand, Mr.Smith:

Du kannst in deiner \(\LaTeX\)-Umgebung Text auch als solchen makieren, dann brauchst du keine \quad Commands setzen. Außerdem ist der Text dann deutlich von den Formeln zu unterscheiden. Das geht ganz einfach indem du mit

\textbf{Hallo} Output: \(\textbf{Hallo}\)
\textit{Hallo} Output: \(\textit{Hallo}\)
\textsf{Hallo} Output: \(\textsf{Hallo}\)
\texttt{Hallo} Output: \(\texttt{Hallo}\)

Texte auch als solche formatierst.

Außerdem kannst du auch einfach mithilfe von "\" und "(" eine inLine-Umgebung für \( \LaTeX\) erstellen bzw. mit "\" und ")" wieder schließen. (Die Umgebung muss immer geschlossen werden. Wenn die schließende Klammer vergessen wird, kann der \(\LaTeX\)-Code nicht richtig angezeigt werden.) Davor und danach ist der Text dann auch als solcher formatiert.