Übungsblatt Mathe Induktionsbehauptung formulieren

Question

Ich sitze grade an meiner Hausübung und bin mir beim formulieren unsicher.

Es geht um die Anzahl der Elemente in Pot(A) (Potenzmenge von A). Ich habe für die Behauptung aufgeschrieben $$\forall n\in\mathbb{N}: |A|=n+1\Longrightarrow |\mathcal{P}(A)|=2^{n+1}$$

Kann man das so schreiben? Ist das richtig?

Comments

Hallo

 vielleicht schreibst du doch erstmal die aufgabe genau?

Gruß lul

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Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/497523/wie-formuliert-man-die-induktionsbehauptung

Willst du die Frage nach einem Beweis von |P(A)| = 2^ (|A|) für beliebigen endliche Mengen formulieren?

Im Induktionsschritt schreibt man meist nur  n ==> (n+1) 

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Hast du absichtlich die Latex-Umwandlung ausgeschaltet? Ich sehe nun:

und

Answer 1

Hier musst Du bei der Formulierung wirklich genau sein. Ich denke, dass die Variante

"Unter der Voraussetzung, dass \(A(n)\) gilt, gilt die Behauptung auch für \(A(n+1)\)"

der formalen Definition

\(A(n)\Longrightarrow A(n+1)\)

am nächsten kommt. Das \(\forall \) wird wichtig, wenn Du den Induktionsschritt gehst, indem Du letztlich die Implikation \(A(n)\Longrightarrow A(n+1)\) beweist.

Answer 2

Die Induktionsbehauptung lautet:

Wenn für |A|=n gilt |P(A)|=2ⁿ, dann gilt für |A|=n+1 |P(A)|=2ⁿ⁺¹.

Comments

Wie kann man Deine Lösung mit "für alle" (Allquantor) umschreiben? Ist meins jetzt falsch?

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 ∀n: Wenn für |A|=n gilt |P(A)|=2ⁿ, dann gilt für |A|=n+1 |P(A)|=2ⁿ⁺¹.  

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!! Kann man auch schreiben:

Unter der Voraussetzung das |A|=n -> |P(A)|=2^n für ein n gilt, gilt für alle  |A|=n+1 |P(A)|=2n+1?

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Könnte man schreiben?

$$\forall n\in\mathbb{N}:(|A|=n\Rightarrow |P(A)|=2^n)\Rightarrow (|A|=n+1\Rightarrow |P(A)|=2^{n+1}$$

?????

Answer 3

Schreibe das besser in Worten, wenn das ein Beweis werden soll.

Induktionsschritt: 

Induktionsvoraussetzung: Für |A|=n gilt |P(A)|=2^{n}

Induktionsbehauptung: Für |A|=n+1 gilt |P(A)|=2^{n+1}.

Beweis: n ==> n+1

Umglücklich ist, dass du die (endliche) Menge mit A bezeichnest. A steht oft für Aussage.

Also Aussage Nr. n: A_{n}.

Aussage Nr. n+1: A_{n+1} .

Dann ist:

Induktionsvoraussetzung: A_{n}.

Induktionsbehauptung: A_{n+1} .