Startwert bei vollständiger Induktion. Lösung zu einer Beweisaufgabe

Question

Hallo Community,

ich habe für meine Tutanden eine Beweisaufgabe zur vollständigen Induktion erstellt. Beim Anfertigen der Lösung kam es zu folgender Situation:

\(\sum\limits_{k=0}^{n-3}{f(k)}=g(n)\)

Für den Startwert \(n_0=2\) kommt \(g(n_0)=0\) heraus. Aufgrund der leeren Summe (\(n_0-3=2-3=-1\) und \(k=0>-1\)) kommt auch für den Wert des Summenzeichens \(0\) heraus. Der Startwert soll eigentlich \(n_0=3\) sein, denn \(\sum\limits_{k=0}^{n-3}{f(3)}=g(3)\).

Meine Frage:

Würdet ihr es als "schlechten Stil" sehen, mit der leeren Summe zu argumentieren und den Startwert bei \(n_0=2\) festzulegen?

André

Answer 1

Würdet ihr es als "schlechten Stil" sehen, mit der leeren Summe zu argumentieren und den Startwert bei n0=2
n
0
2
festzulegen?

Wenn man eine Teilbehauptung: Behauptung B(2) auch noch beweist, schadet das nichts. Du kannst bei der Verankerung (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) auch die ersten zehn Behauptungen separat zeigen.

Entscheidend ist, ob der Induktionsschritt  B(2) ==> B(3) tatsächlich funktioniert. Wenn tatsächlich als Verankerung nur B(2) gezeigt wurde. Schulbuchbeispiel ist hier der Beweis, dass alle Elephanten gleich gross sind, der in der Verankerung mit einelementigen Mengen von Elephanten beginnt.

Zum Summenzeichen https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Formale_Definition Schau mal nach, wie genau das in der Vorlesung eingeführt wurde.

Answer 2

Zu der Definition von Funktionen gehört doch immer die Angabe der Definitionsmenge.

Hier müsste zu f und g in der Aufgabenstellung Angaben gemacht sein. Und damit wäre der

Startwert doch eindeutig festgelegt.

Comments

Hier müsste zu f und g in der Aufgabenstellung Angaben gemacht sein.

Sind sie auch. Für meine Frage ist das aber nicht relevant.

Und damit wäre der Startwert doch eindeutig festgelegt.

Ich habe es noch nicht beobachten können, dass man für Summenformeln bei der vollständigen Induktion eine Definitionsmenge angibt. Beachte, dass in der richtigen Aufgabe so etwas wie z. B. \(k^2\) für \(f(k)\) steht. Die Definitionsmenge ist für diese Fälle durch den Startwert und den Endwert festgesetzt (diskret auf \(\mathbb{N}\)). Gesucht ist hier der Startwert für \(n_0\) (nicht die bereits festgelegte \(k=0\)).

Meine Frage zielte eher darauf ab, zu entscheiden, ob es "schlechter Stil" ist, wenn man den von mir beschriebenen Fall (siehe Frage) betrachtet.