ein Ansatz wäre sich zu überlegen, wie der Zähler schonmal ,,grob" aussehen müsste, um die Nullstellen dort zu haben, als Linearfaktoren. Dann überlegt man sich, wie der Nenner sein müsste, damit es keine Polstellen gibt. Richtig dieser Nennerterm darf keine Nullstellen haben!
Nun kann es aber sein, dass diese Idee noch nicht so ganz perfekt ist und unseren Bruchterm etwas näher betrachten müssen und mit Parametern versehen, die uns helfen werden, unsere Wunschfunktion zu finden. Alles in Allem wäre das nun der Ansatz:
$$ f(x)=a\cdot \frac{(x-1)\cdot (x-2)}{b+x^2}=\frac{a\cdot (x^2-3\cdot x+2)}{b+x^2}=\frac{a\cdot x^2-3\cdot a\cdot x+2a\cdot }{b+x^2} $$
Wie bin ich drauf gekommen? Am besten führt man eine Polynomdivision durch. Diese ergibt:
$$ f(x)=\frac{a\cdot x^2-3\cdot a\cdot x+2a}{b+x^2}=a+\frac{2\cdot a -a\cdot b-3\cdot a\cdot x}{b+x^2} $$
Man sieht, dass a für x ->∞ der Grenzwert ist, also die Asymptote von f, da der Grenzwert für x->∞ des Bruchterms 0 ist. Also muss a=3 sein. Mit b kann man f so manipulieren, sodass f durch den Punkt (1/4) geht. Alles in die Ausgangsfunktion eingesetzt hat man die Funktion schon aufgestellt.
