Abstände und Winkel - Die Punkte A, B und C legen eine Ebene E fest.

Question

und zwar bin ich bei folgeneder Aufgabe stehen geblieben.

Aufg. : Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E.

a) E: x = ( 2 / 1 / 2 ) + r * (1 / 3 / 0 ) + s * ( -2 | 1 | 3)

b) E: x = ( 6 | 9 | 1 ) + r * ( 4 | 1 | -4) + s * ( 1 | -2 | -4)

Answer 1

a)

1.x₁= 2 +1*r -2s

2.x₂= 1 + 3r +s

3.x₃= 2 +0r +3s

-----------------------------

Nun wird so umgeformt, dass in einer Gleichung die Parameter wegfallen.

1.  r - 2s= -x₁+2 |*3

2.  3r +s= -x₂+1

--------------------

1.  3r - 6s= -3x₁+6

2.  3r +s= -x₂+1

-----------------------

1-2: -7s=-3x₁+6 +x₂-1

1-2: -7s=-3x₁+5 +x₂

_{--------------------------------------}

_{3) s=-x3/3 +2/3 eingesetzt in -7s=-3x1+5 +x2 und umgeformt, ergibt die Lösung.}

_{------------------------------------}

Lösung:

-29= -9x₁+3x₂ -7x₃

Answer 2

Koordinatengleichung: Liegt x in der Ebene, dann ist der Normalenvektor senkrecht zum Vektor zwischen Aufpunkt und x.

1. Bestimme einen Vektor n, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ist. Das ist ein Normalenvektor der Ebene.
2. Aufpunkt ist (2 | 1 | 2).
3. x = (x₁ | x₂ | x₃)
   

Damit kann man obige Eigenschaft der Koordinatengleichung formulieren:

        n · ((2 | 1 | 2) - (x₁ | x₂ | x₃)) = 0.

Das ist die Normalenform. Rechne das Skalarprodukt auf der linken Seite aus, dann hast du die Koordinatengleichung.

Answer 3

oder wenn ihr das Vektorprodukt kennt:

\(E: \left( \left(1, 3, 0 \right) \otimes  \left(-2, 1, 3 \right) \right) \;  \left( \left(x, y, z \right) -  \left(2, 1, 2 \right) \right) = 0\)

\(E:9 \; x - 3 \; y + 7 \; z - 29 = 0\)

Answer 4

Betrachte die Parameterform komponentenweise:

Zu a) Löse nach r und s auf:

$$ x=2+r-2s\Leftrightarrow r-2s=x-2\\y=1+3r+s\Leftrightarrow 3r+s=y-1\\z=2+0r+3s\Leftrightarrow 0r+3s=z-2\\[20pt] (1)\quad r-2s=x-2\\(2)\quad 3r+s=y-1\quad |3\cdot (1)-(2)\\(3)\quad 0r+3s=z-2$$

$$ (1)\quad r-2s=x-2\\(2)\quad 0r-7s=3(x-2)-(y-1)=3x-y-5\quad |:(-7)\\(3)\quad 0r+3s=z-2\quad |:3 $$

$$ (1)\quad r-2s=x-2\\(2)\quad s=-\frac{1}{7}(3x-y-5) \\(3)\quad s=\frac{1}{3}(z-2) $$

(2)=(3)

$$ -\frac{1}{7}(3x-2y-5)=\frac{1}{3}(z-2)\quad |\cdot (-21)\\3(3x-2y-5)=-7(z-2)\\9x-6y-15=-7z+14\\E:9x-6y+7z=29 $$