Gib jeweils eine Gleichung derjenigen Geraden durch den Punkt P (1|2) an,die zur Geraden h2: 3x-y+1=0 parallel ist.

Question

Bitte um Vorgehensweise bzw. Erklärung der Rechnung.

Answer 1

Eine Gerade ist in der Form $$h_1: \\ y = mx+b$$ Da diese Gerade durch den Punkt P(1 | 2) geht, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Geradengleichung erfüllen: $$2=m\cdot 1+b\Rightarrow 2 = m+b$$ Die Gerade h₁ soll ausserdem parallel zur Geraden $$h_2 : \\ 3x-y+1=0\Rightarrow y =3x+1$$ sein, das bedeutet dass die zwei Gleichungen die gleiche Steigung haben (die Steigung ist der Koeffizient von x), also haben wir dass m = 3.

Das setzen wir in 2 = m+b ein um das b zu berechnen: $$2 = 3+b\Rightarrow b =-1$$

Die bekommen also die folgende Geradengleichung $$h_1: \\ y=3x-1$$

Answer 2

Erst mal die geradengleichung in eine vernünftige Form bringen.

y=3x+1

Wir sehen die Steigung ist 3.

Jetzt benutzen wir die punkt-Steigungs-form der geradengleichung. Die Steigung muss dabei die der ausgangsgerade sein.

y=3*(x-1)+2

  =3x-3+2

  =3x-1

Fertig

Answer 3

Hallo Confsed,

Wenn man es vektoriell sieht, so kann man ausgehend von der gegebenen Koordinatenform \(3x-y=-1\), \(h_2\) auch so schreiben: $$h_2: \space \begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix} \vec{x} = -1$$ Eine dazu parallele Gerade \(g\) benötigt nur den gleichen Normalenvektor - also

$$g: \space \begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} = 1 \\ \Rightarrow 3x -y -1 = 0$$

Analytisch stellt man die Gleichung um: $$h_2: \space y= 3x+1$$ d.h. die Gerade hat die Steigung 3 - eine Gerade \(g\) der Steigung 3, die durch (1|2) verläuft, sieht so aus: $$g: y = 3(x - 1) + 2 = 3x -1$$ Skizze: ~plot~ 3x+1;{1|2};3x-1 ~plot~

Gruß Werner