y' + y/(1+x) = e^{2x} DGL

Question

 DGL: y' + y/(1+x) = e^{2x}

 meine schritte:

Variation der Konstanten

g(x) = 1/(1+x)

G(x)= ln(1+x)

s(x) = e^2x

(∫e^2x * e^{- ln(x+1) dx +C } *e^{ln(1+x)}

∫e^2/(1+x) dx * C) (1+x)

Wie löse ich: ∫e^2/(1+x) dx

ich wollte substituieren aber 1+x bringt mir nichts wenn ich es substituiere, ebenso 2x

dankee

Answer 1

homogene Gleichung:

y'=-y/(1+x)

dy/y=-dx/(1+x)

ln(|y|)=-ln(1+x)+c

y=C/(1+x)

Variation der Konstanten . y=C(x)/(1+x)

Einsetzen:

C'/(1+x)-C/(1+x)^2+C(x)/(1+x)^2=e^{2x}

C'/(1+x)=e^{2x}

dC=e^{2x}*(1+x)dx ---> hier liegt dein Fehler, ist mal anstatt geteilt, nun partiell integrieren

C+d=(x/2 + 1/4)e^{2x}

C=(x/2 + 1/4)e^{2x}-d

Comments

danke, ich kann Variation der Konstanten nur nach dieser Formel lösen, weil ich das nur so gelernt habe

(∫s(x)*e^{-G(x)} ex +C) *eG(x)
und da mein g(x) = 1/(1+x) ist, ist G(x)= ln(1+x)

und in der Formel steht jaa e hoch minus G(x) deswegen 1/1+x und nicht (1+x)

weil wenn es minus wäre dann hätte ich ja die Gleichung umstellen y'= e^2x - y/(1+x) und dann wäre (∫s(x)*e^{-G(x)} ex +C) *eG(x) e^G(x)= e^-ln(1+x)= 1/(1+x)

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Also ich kann bei dir die Lösungsformel nicht gut erkennen ( ich kenne sie auch nicht), du schreibst immer nur lose Terme auf.

Laut

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten

wäre es wie folgt:

a(x)=-1/(1+x)

b(x)=e^{2x}

e^{A{x}}=1/(1+x)

∫b(t)e^{-A(t)}dt=∫e^{2t}*(1+t)dt

Das passt also.

da mein g(x) = 1/(1+x) ist, ist G(x)= ln(1+x)

Hier hast du glaube ich das - vergessen ( bei mir a(x)).

Answer 2

Hier nun mit Lösungsformel: