Was sind alle Funktionen von der leeren Menge in die leere Menge ? - Wieso ist die Aussage wahr ?

Question

Definition

Seien X und Y Mengen. Eine Funktion von X nach Y ist eine Teilmenge F von X×Y mit der folgenden Eigenschaft:
Für jedes x∈X existiert genau ein y∈Y mit (x,y)∈F.

Notation: ∀x∈X∃! y∈Y mit (x,y)∈F

Bemerkung: Üblicherweise schreiben wir F(x) für das eindeutige y∈Y mit (x,y)∈F.

Also F = { ( x ,F(x) ) | x∈X }

Und die Menge F nennen wir Graph der Funktion, X ist der Definitionsbereich, Y der Wertebereich.

Bis hier ist alles klar. 


---------------------


Unklarheit beginnt hier mit der Frage vom Prof

Was sind alle Funktionen von der leeren Menge in die leere Menge?

f: ∅ ↦ ∅

Technisch bedeute dies:

∀ x ∈ ∅ ∃! y ∈ ∅ mit (x,y)∈F

Antwort: Es gibt genau eine Funktion f: ∅ ↦ ∅

Nun denke ich, dass des ∅×∅ = ∅
Und somit keine Funktion oder nur eine "Keine" Funktion möglich ist, aber ich glaube dass es eben eine Funktion gibt, hat damit zu tun, dass die Aussage

∀ x ∈ ∅ ∃! y ∈ ∅ mit (x,y)∈F

wahr ist und ich wahrscheinlich Aussagenlogisch wahr ist und ich sehe das nicht. 

Kann mir das jemand erklären?

Answer 1

In dieser Zeile ∀ x ∈ ∅ ∃! y ∈ ∅ mit (x,y)∈F ist bereits x ∈ ∅ nicht erfüllbar. Dadurch wird die Aussage sinnentleert.

Comments

Genau um diesen ersten Teil ging es, 

Ich weiss zum Beispiel, dass bei Implikationen die Aussage Wahr ist wenn 

A ⇒ B

A falsch ist. 

Aber bei der Notation oben, sehe ich  die Implikation nicht. 

Hab ich etwas verpasst oder wieso ist sie falsch, wenn der erste Teil nicht erfüllbar ist?

A ∪ B wäre ja Wahr wenn der zweite Teil B wahr wäre und gleichzeitig A falsch wäre.

---

Von wem stammt diese Antwort: Es gibt genau eine Funktion f: ∅ ↦ ∅ ?

Meiner Meinung nach ist sie falsch. Wenn eine Funktion so definiert ist, wie es oben steht, dann ist schon die Aussageform x∈∅ nicht erfüllbar und daher kann es keine Funktion von der leeren Menge in die leere Menge geben.

---

https://de.wikipedia.org/wiki/Leere_Menge#Die_leere_Funktion

---

Unter dem von Wolfgang angegebenen Link finden wir:

 Jede Existenzaussage über Elemente der leeren Menge, etwa
        „Es existiert ein x aus ∅, sodass gilt …“

 ist falsch.

Gleichzeitig gibt es aber auch "die leere Funktion" von der leeren Menge in eine andere Menge.

Dann kann nur eine andere Definition des Funktionsbegriffes helfen, diesen Widerspruch aufzuklären.

---

diesen Widerspruch aufzuklären. 

Da musst du wohl etwas besser nachdenken. Wie kommst du denn darauf, hier einen Widerspruch zu sehen, wo nun wirklich keiner ist, im Gegenteil :  Der erste Satz begründet doch die Existenz der in Frage stehenden Funktion ganz ausgezeichnet.

---

Wieso ist die Aussage letzenendes wahr ? Und wieso gibt es dann genau eine Funktion?

---

@ limonade: hj2166 hat natürlich recht. Im übrigen empfehle ich die Lektüre des von Wolfgang angegebenen Links.

---

Ok ich habs angeschaut. Ich dachte, es wäre sowenn der erste Teil der Aussage falsch ist, dann kann folgen was will und die Aussage ist wahr: Wie bei der Implikation aber ich sehe bei diesen Aussagen nicht die schreibweise einer Implikation also gar keine, denn ich sage “für alle xeX Existiert ein yeY...“

Ich sehe nicht, wie sich hier ein Wahrheitswert zuordnen lässt,

 Wobei es bei

und, oder, a impliziert b, genau dann wenn klar ist mit den Wahrheitswerten.

---

Mache dir einfach klar, dass das Gegenteil der Aussage falsch ist.

Das Gegenteil würde nämlich bedeuten, dass es (mindestens) ein x∈∅ gibt, zu dem es kein oder mehrere y ... . Das ist aber ja offensichtlich nicht möglich.

Mit derselben Überlegung überzeugt man sich übrigens davon, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist.

---

Schaut, ich habe da etwas gefunden. Irgendwie ist es für mich logisch, wenn ich es so betrachte:

Ein Quantor bezieht sich immer auf die Nachfolgende Aussage.

Beispiel:

(1) 
∃x C(x)  gesprochen: "Es existiert ein x mit der Eigenschaft C(x)"

(2)
Die Aussage 

∀x: (x∈X) → C(x)

kann man wie folgt abkürzen 

∀x: (x∈X) 

(3)
Die Aussage

∃x : (x∈X) ∧ C(x)

kann man auch wie folgt abkürzen

∃x∈X : C(x)

Nun was habe ich erkannt?

Der erste Teil der obigen Aussage (hier in Klammern gesetzt)

(∀ x ∈ ∅ ) ∃! y ∈ ∅ mit (x,y)∈F

ist offensichtlich falsch, und nach Schema (2) in der gelben Box sehe ich den Pfeil der für eine Implikation verwendet wird. Okay, ich weiss dass bei einer Implikation die gesamte Aussage Wahr ist wenn der "erste Teil" oder "A" falsch ist. 

A→B ist wahr wenn A falsch ist aber auch wenn jeweils  A und B einzeln betrachtet  zwei wahre Aussagen sind. 

Das Fazit
Bei der Aussage ist ja x∈∅ falsch denn die leere Menge ist L = { }. Und x ist dort nicht enthalten, somit hat der erste Teil der Aussage den Wahrheitswert "falsch" und egal welchen Wahrheitswert das Nachfolgende hat, die gesamte Aussage ist dann "wahr". 

Und das bedeutet (wenn meine Überlegungen korrekt sind) dass die gesamte Aussage,  

(∀ x ∈ ∅ ) ∃! y ∈ ∅ mit (x,y)∈F

wahr ist und gemäss dieser Aussage gesprochen in Wörtern:

"Für alle x Element der Menge ∅ existiert genau ein y Element von der Menge ∅ die miteinander ein geordnetes Zahlenpaar (x,y) bilden und diese geordneten Zahlenpaare finden wir in der Teilmenge F. Und die Teilmenge F ist Teilmenge vom Kartesischen Produkt von ∅×∅."

Aha! es gibt also tatsächlich genau eine Funktion f: ∅↦∅ 

Kann mir jemand hierzu ein Feedback geben ?