Kleiner Beweis in der Analysis: Zeigen Sie, dass x ≤ y ⇔ x³ + x ≤ y³ + y für alle x, y ∈ K gilt.

Question

Aufgabe:

Sei (K,≤) ein angeordneter Korper. Zeigen Sie, dass

x ≤ y ⇔ x³ + x ≤ y³ + y

für alle x; y ∈ K gilt.

Idee:

Ich löse die Gleichung rechts nach x auf und dann nochmal nach y. 

(i) y ≥  x³ + x - y³ 
(ii) x ≤ y³ + y - x³

Es soll nun gelten dass x ≤ y.

Also setze ich: 

(ii) ≤ (i)

y³ + y - x³  ≤  x³ + x - y³

Ich schreibe das um, da der Körper kommutativ ist und Assoziativ auch:

y + (y³ - x³)  ≤  x + (x³ - y³)


Am liebsten würde ich jetzt das in den Klammern kürzen, aber wenn wir sagen, dass

c = (y³ - x³), dann ist -1*c = -c = (x³ - y³)

Und das kann ich nicht "additiv kürzen". 


Ich kriege somit

(iii) y+c ≤ x+-c


Probleme:

(1) Eigentlich sieht bei Gleichung (iii) das x-c tatsächlich kleiner aus als das y+c aber wenn c eine negative Zahl c < 0  ist, kann x-c unter Umständen   grösser ausfallen als y+c mit c < 0.

(2) Ich hätte den Beweis fertig, wenn ich das c eleminieren könnte in der Gleichung. 

Frage:

Kriege ich den Beweis so fertig oder kann mir jemand helfen ?

Answer 1

Kannst du nicht einfach zeigen, dass

x≤y genau dann gilt wenn x³≤y³,

und dann beide Ungleichungen addieren?

Answer 2

Hallo

 x^3+x ist eine streng wachsende Funktion,  ebenso die Umkehrfunktion, deshalb gilt die Implikation in beide Richtungen ohne jede Rechnung.

 Gruß lul

Answer 3

Es gelte x ≤ y. Zeige zunächst x² + xy + y² ≥ 0 per Widerspruchsbeweis.
Nimm an x² + xy + y² < 0. Dann gilt
(1)  0 ≤ x² + y² < -xy, also xy < 0.
(2)  0 ≤ (x + y)² < xy, also xy > 0.
       Widerspruch.

Nun gilt (x³ - y³)  + (x - y) = (x - y)·(x² + xy + y² + 1) ≤ 0.
Daraus folgt die Behauptung.