Aussagen bewerten ob hinreichend oder notwendig für x=y ?

Question

folgende Aufgabe:

1) Für alle reellen Zahlen x,y gilt:  x⁴=y^{4 .....}

a) ist hinreichend für x=y

b) notwendig für x=y

wenn ich jetzt für x und y verschiedene Werte nehme z.B.

2⁴ = 3^{4  ==>} 16 =/ 81 und somit auch x =/ y ist, wäre das doch schonmal ein Gegenbeispiel dafür dass es nicht notwendig ist oder?

MfG

Answer 1

Für alle reellen Zahlen x,y gilt:  x^4=y^4

ist notwendig für x=y

Denn das heißt ja:

Wenn x=y gilt, dann muss (notwengigerweise) auch x^4=y^4 gelten.

Hinreichend ist es allerdings nicht; denn wenn x^4=y^4 gilt,

dann könnte ja auch x=2 und y=-2 sein, also kann man aus

x^4=y^4  nicht   x=y folgern.

Comments

Dass x⁴=y⁴ -> x=y nicht stimmt, kann man durch einen Widerspruchsbeweis beweisen.

Schwieriger wird es nun zu beweisen, dass x=y -> x⁴=y⁴ stimmt.

Haben Sie vielleicht eine Idee wie man dies beweisen könnte?

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Tipp: Was ergibt

(x^4-y^4)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)=?

wenn x=y ?

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Durch f(x)=x^4 wird doch eine Funktion bestimmt.

Also folgt aus x=y auch x^4 = y^4.