Potential mit Kurvenintegralmethode berechnen

Question

ich muss das Potential des folgenden Vektorfeldes bestimmen:

$$f ( x , y , z ) = - \left( \begin{array} { c } { e ^ { - x } } \\ { e ^ { - y } } \\ { e ^ { z } } \end{array} \right)$$

ich habe fast das richtige Ergebnis raus. aber die -1 am ende ist zu viel. muss ich was für c einsetzen, so dass ich die -1 weg bekomme oder habe ich nen Rechenfehler drin?

mfg

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ich habe 2 Ideen.

1:

es ist ein c(t) gegeben.

c(t) = (1+t, t, -t)^T. ich muss meinen Anfangspunkt, hier (0,0,0) in C einsetzen, davon den Betrag nehmen. also 1 und das ist mein C. und somit würde -1 verschwinden. Aber ich dachte, dass das bestimmt nur zufall ist und meine konstante c hat mit dem gegebenen Kurve c nichts zutun.

2:

habe rausgefunden, dass durch e^{-x}+e^{-y}-e^z-1+c alle Potentiale des Vektorfeldes gegeben sind. (dachte, dass es nur einen gibt). und ich denke, dass ich für wählen kann was ich will. Und somit haben die in der Lösung eben c=1 gewählt und somit ist die -1 verschwunden.

????

mfg

Answer 1

durch die Integrale bekommst du am Ende immer irgendwelche Konstanten. Du hast bereits richtig erkannt, dass du mit c=1 das einfachste Ergebnis erhältst.

Meine Vorgehensweise:

Du hast 3 Gleichungen:

d/dx Phi =-e^{-x}

d/dy Phi =-e^{-y}

d/dz Phi =-e^{z}

Aus der dritten Gleichung folgt

Phi= -e^z +C(x,y)

Aus der zweiten Gleichung folgt dann,

dass C(x,y)= e^{-y} +D(x)

und mit der ersten dann D(x)=e^{-x} +const.

const. kannst du nun 0 setzen.

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achso ok danke. ich darf also wirklich c selbst aussuchen. habe kurz irgendwo gelesen, dass halt mit +c eben alle Potentiale gegeben sind. also dachte ich für c=1 habe ich eben ein bestimmtes potential und das wäre ja auch richtig.

ja die methode kenne ich auch. "ansatzmethode". aber ich musste hier mit der kurvenintegral arbeiten.

mfg

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Alle Potentiale unterscheiden sich bloß um maximal eine Konstante. Wenn du alle angeben sollst, dann bleibt das +c stehen. Du kannst dann 1+c:=C zusammenfassen. Wenn du nur ein Potential finden sollst, lässt du das einfach weg ;).