Injektivität und Surjektivität von Funktionen

Question

Ich muss mich derzeit mit Injektivität und Surjektivität beschäftigen und habe folgende Funktionen gegeben:

1) f: R^2->R: (x,y) -> x^2+y^2-3

2) f2: R^2 -> R^2: (x,y) -> (x+y, y)

Ich würde sagen, dass die obere Funktion nicht injektiv ist, da gilt:

f(0,1)=-2=f(1,0)

Die untere ist meines Erachtens nach Injektiv, weiß aber nicht wie ich das zeige. Und wie kann ich die Surjektivität zeigen?

Vielen Dank vorab!

Answer 1

bei der unteren Funktion:

Gilt f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)

dann folgt aus der unteren Komponente der Funktion direkt y_1 = y_2

Dann bleibt die Gleichung der oberen Komponente

x_1+y_1=x_2+y_2

x_1+y_2=x_2+y_2

x_1=x_2

Also sind die Argumente dann gleich.

Die obere Funktion ist nicht injektiv, das ist richtig.

Zur Surjektivität:

Es ist x^2+y^2-3>=-3, also ist die Funktion nicht Surjektiv (---> R)

die zweite Funktion kannst du auch so schreiben:

=x*(1,0)+y*(1,1)

Die beiden Vektoren sind nicht parallel und spannen somit den ganzen R^2 auf. Also Surjektiv.