Eigenschaft eines Monoiden zeigen

Question

Sei S ein Monoid. Zeigen Sie, dass es höchstens ein Element  n ∈ S gibt mit der Eigenschaft

        n*a = n = a*n

für alle a ∈ S. Geben Sie ein Beispiel S₁ für einen Monoiden, der ein solches  Element enthält, und ein Beispiel S₂, wo dieses nicht existiert.

Wie geht man hier vor?

Answer 1

dass es höchstens ein Element  n ∈ S gibt

Seien n' ∈ S und n'' ∈ S ...

mit der Eigenschaft n*a = n = a*n für alle a ∈ S

... so dass n' * a = n' = a * n' für alle a ∈ S und n'' * a = n'' = a * n'' für alle a ∈ S.

Schlussfolgere durch Untersuchung des Ausdrucks n' * n'', dass n' = n'' ist!

Geben Sie ein Beispiel S1 für einen Monoiden, der ein solches  Element enthält, und ein Beispiel S2, wo dieses nicht existiert.

Du kennst eine Zahl z und eine Rechenart * , so dass z*x = z für alle x ist.

Comments

Vielen Dank für die Antwort, bin grade auch mit dieser Aufgabe beschäftigt, also für s1 könnte man ja einfach die Menge der reellen Zahlen betrachten also s1 aus R und als Verknüpfung +, so dass das neutrale element gleich dem nullelement ist.

Aber wie sieht es mit s2 aus ? Könntest du da vielleicht noch ein Beispiel erwähnen, mir fällt da nämlich spontan nichts ein

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so dass das neutrale element gleich dem nullelement ist.

Das n, von dem in der Aufgabenstellung die Rede ist, ist nicht das neutrale Element der Verknüpfung. Ganz im Gegenteil verschlingt n alle anderen Elemente.

n ist neutral wenn: für jedes a gilt n*a = a

n in deiner Aufgabe: für jedes a gilt n*a = n.

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Vielen Dank für die Antwort!

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Würde es denn reichen, wenn ich schreibe das wir zeigen müssen das n1 = n2 ist so dass gilt n1 = n1 *a = n2*a = n2. Somit sind beide n`s identisch?

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Würde es denn reichen, wenn ich schreibe das wir zeigen müssen das n1 = n2 ist so dass gilt n1 = n1 *a = n2*a = n2.

Nein, es würde nicht reichen, aufzuschreiben was du zeigen musst.

Du musst das was du zeigen musst dann auch tatsächlich zeigen.

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Wie gibt man denn einen Monoiden an, der dieses Element enthält? Ich verzweifel gerade vor dieser Aufgabe. :(

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Man gibt einen Monoiden an indem man zumindest die Grundmenge und die Verknüpfung nennt.

Beispiel. "Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der üblichen Multiplikation ein Monoid."

Dieses Vorgehen ist sowohl für Monoide geeignet, die "dieses Element" enthalten, als auch für Monoide, die es nicht enthalten.

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ich versteh immer noch nicht den schritt zu n´=n"

habe n"*n´*a=(n"*n´)*a=n´*a=n`

         n"*n´*a=n"*(n´*a)=n"*n

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n' * n'' = n' weil für alle a gilt: n' * a = n' (insbesondere also auch für a = n'').

n' * n'' = n'' weil für alle a gilt: a * n'' = n'' (insbesondere also auch für a = n').

Also ist n' = n''.