Es seien f: X → Y und g: Y → Z Abbildungen. Zeige: Ist gof injektiv und f surjektiv, so ist g injektiv.

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über Abbildungen \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z: \)

a) \( g \circ f \) injektiv \( \Rightarrow g \) injektiv

b) \( g \circ f \) injektiv \( \Rightarrow f \) injektiv

c) \( g \) und \( f \) injektiv \( \Rightarrow g \circ f \) injektiv

Beweisen oder widerlegen Sie dann die entsprechenden Aussagen über surjektive Abbildungen.

Comments

Bei
https://www.mathelounge.de/55800/lineare-algebra-suche-beispiel-surjektiv-nicht-surjektiv

wurden verschiedene Eigenschaften von Abbildungsverknüpfungen untersucht. Vielleicht hilft dir das schon mal ein Stück weiter.

Answer 1

Zu a) Ist g o f injektiv, dann ist f injektiv:

Wenn gof injektiv ist, muss für beliebige $$x_1, x_2 \in D_{gof}, x_1 \neq x_2$$ gelten, dass $$gof(x_1) \neq gof(x_2)$$. Daraus folgt $$g(f(x_1)) \neq g(f(x_2))$$ Wäre $$f(x_1) = f(x_2)$$, könnte nicht $$g(f(x_1)) \neq g(f(x_2))$$ sein, also ist $$f(x_1) \neq f(x_2) \forall x_1, x_2 \in D_{gof}$$, also f injektiv.

Comments

jap gecheckt ,gecheckt muss jedenfalls mit der Mathematischen Symbolic klar kommen, wofür steht das D?

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Definitionsbereich. Ich finde es nicht so toll, Definitions- und Wertebereich von Funktionen mit willkürlichen Buchstaben zu bezeichnen. Ich würde immer $$D_{Funktionsname}$$ für Definitionsbereich und $$W_{Funktionsname}$$ für Wertebereich schreiben. Aber mein Professor macht es auch anders...