Surjektivität bei einer Funktion mit Fallunterscheidung

Question

wenn ich eine Funktion mit Fallunterscheidung habe, dann ist diese doch nur dann surjektiv, wenn die Vereinigung der Urbilder der Wertemengen von den Teilfunktionen mindestens den Definitionsbereich meiner Funktion ergibt, richtig?

Comments

Hallo

 was du fragst ist unverständlich. deine Funktion ist stückweise definiert hat also insgesamt eine Definitionsgebiet. bei subjektiv kommt es aber auf den Bildbereich an, nicht auf den des Urbildes.

vielleicht sagst du auf was du dich beziehst?

Gruß lul

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Ich betrachte halt eine Abbildung in dieser Form:

$$ f:X\rightarrow Y,x\mapsto f(x):=\begin{cases}f_1:X_1\subseteq X\rightarrow Y_1\subseteq Y=:f(X_1)\\ \vdots\\f_n:X_n\subseteq X\rightarrow Y_n\subseteq Y=:f(X_n)\end{cases} $$

Wenn ich nun die Urbilder jeweils betrachte und vereinige, bekäme ich (mindestens) die Definitionsmenge wieder heraus?  $$ f_1^{-1}(Y_1)\cup ... \cup f_n^{-1}(Y_n)=X, $$ um dann sagen zu können, dass f surjektiv ist?

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Bitte nicht falsch verstehen, es war für jede Abbildung $$ f_i:X_i\rightarrow Y_i=:f(X_i) $$ gemeint, wobei $$ X_i\subseteq X\\Y_i\subseteq Y$$ für alle i∈{1,..,n} gilt.

Answer 1

Das ist richtig, aber nutzlos.

Die Vereinigung der Urbilder der Wertemengen von den Teilfunktionen ergibt auch bei nicht-surjektiven Funktionen immer mindestens den Definitionsbereich.

Comments

Und wie kann man denn dann vorgehen, um zu zeigen, ob so eine Funktion surjektiv ist? Man wirde das doch spätestens dann merken, wenn man die Vereinigung vornimmt.

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Müsste ich mir die Vereinigung der Wertemengen anschauen?

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Ja. Dabei musst du darauf achten, dass du den Definitionsbereich der einzelnen Teilfunktionen nicht erweiterst.

\(f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto\begin{cases} e^x&x < 0\\ x+1 &x \geq 0 \end{cases}\) ist nicht surjektiv, obwohl \(x+1\) auf \(\mathbb{R}\) surjektiv ist.

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Ja, weil wenn dann nur die Werte (0,∞) getroffen werden können, was aber nicht der Wertemenge ℝ entspricht. So kann hier mit y=-5 kein x mittels einer von den Teilfunktionen gefunden werden.

Und wenn ich die Vereinigung der jeweiligen Bilder von den Teilfunktionen vornehme, dann komme ich auf

$$ D_{f_1}=(-∞,0)\\D_{f_2}=[0,∞)\\f_1(D_{f_1})\cup f_2(D_{f_2})=(0,1)\cup [1,∞)=(0,∞)\subset \mathbb{R}.$$

Daran sieht man ja, dass f nicht surjektiv sein kann und ein zusätzliches Gegenbeispiel würde das hier so noch unterstützen.

Angenommen ich hätte nun irgendeine Abbildung mit Fallunterscheidung. Nun betrachte ich die Bilder der einzelnen Funktionen und bilde die Vereinigung. Wenn diese dann der Wertemenge entpricht, dann ist die Funktion doch surjektiv, oder?

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Wenn diese dann der Wertemenge entpricht, dann ist die Funktion doch surjektiv, oder?

Ja.