Matrizenmultiplikation: Beweisen Sie, dass A^m =0 ergibt.

Question

ich habe gerade einen Kurs in linearer Algebra angefangen und bin mir häufig noch unsicher, was in einer Aufgabe genau von mir verlangt wird. So auch hier, es geht um Matrizen:

A=(a_i,j)_i,j ∈ K ^{n x n}  mit a_i,j = 0 für alle i≥j. Beweisen Sie, dass es ein m ∈ ℕ mit A^m = 0 gibt.

Meine Lösung ist folgende: ich habe mir A als 2x2-Matrix aufgeschrieben und herausgefunden, dass für m=2 die Behauptung gilt:

\( \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0*0+0*0 & 0*a+0*0 \\ 0*0+0*0 & 0*a+0*0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Nun habe ich ja gezeigt, dass ein m existiert, dass für ein A einer nxn-Matrix die o. g. Gleichung erfüllt. Ich vermute aber, ich müsste beweisen, dass A^m=0 für alle nxn-Tabellen gilt? Hierfür habe ich aber keine Idee, wie ich das bewerkstelligen könnte.

Vielen Dank für alle Antworten.

Answer 1

Nun habe ich ja gezeigt, dass ein m existiert, dass für ein A einer nxn-Matrix die o. g. Gleichung erfüllt.

Du hast das nur für n = 2 gezeigt. Und zwar hast du herausgefunden, dass m = 2 dazu ausreicht.

Du musst es aber für jedes n ∈ ℕ zeigen, also auch für 3×3-Matrizen, für 4×4-Matrizen u.s.w.

dass es ein m ∈ ℕ ... gibt

Es wäre schick, wenn man für jedes n ein solches m angeben könnte . Mach dass, was du mit n = 2 gemacht hast, auch mal mit n = 3 und n = 4. Vielleicht findest du dann eine Regel, wie man m aus n berechnen kann.

dass A^m=0 für alle nxn-Tabellen gilt

m darf von n abhängen und muss nicht immer 2 sein.

Außerdem musst du es nicht für alle nxn-Matrizen zeigen, sondern nur für die, die a_i,j = 0 für alle i≥j erfüllen. Du musst es aber für alle n zeigen.

Comments

Hallo oswald,

vielen Dank für die Antwort. Für 3x3-Matrizen habe ich heraus, dass n≥3 sein muss, für 4x4-Matrizen muss n≥4 sein. Die Regel lautet also wohl: A^m=0 für m≥n. Könntest du mir jetzt noch einen Tipp geben, wie ich damit nun den Beweis beginnen kann? Ich habe leider so gar keine Idee.