Untervektorraum oder nicht? Bsp. (iv) U4 = {f ∈ V | ∀r ∈ R: f(r) ≥ 0}

Question

ich bräuchte eure Hilfe. Bei folgender Aufgabe überprüfe ich anhand der Vektorregeln ob es sich um einen UVR handelt oder nicht. Jedoch tu ich mir mit der richtigen Anschreibung/Beweis noch etwas schwer.

Sei V = F(R, R) der R-Vektorraum aller Abbildungen von R nach R. Welche der
folgenden Teilmengen sind Untervektorräume von V? (begründen Sie Ihre Aussage)
(i) U1 = {f ∈ V | f(0) = 0}
(ii) U2 = {f ∈ V | f(0) = 1}
(iii) U3 = {f ∈ V | f stetig}
(iv) U4 = {f ∈ V | ∀r ∈ R: f(r) ≥ 0}
(v) U5 = {f ∈ V | ∀r ∈ R: |f(r)| ≤ 1}
(vi) U6 = {f ∈ V | ∃C ∈ R ∀r ∈ R: |f(r)| ≤ C} .

Answer 1

Du musst immer nur prüfen:

0-Vektor ∈ U  und Abgeschlossenheit gegenüber Addition und Multiplikation mit Skalaren.

Bei U1 also:

0-Abbildung enthalten    ok.
Für f,g aus U1 gilt  (f+g)(0) = f(0)+g(0)=0 ok.
Für c∈R  gilt  (c*f)(0) = c*f(0) = c*0 = 0   ok.
Also ist U1 ein Untervektorraum von V.

U2:  0-Abbildung nicht enthalten, kein UVR.

U3:  alles erfüllt, ist ein UVR

etc.

Comments

Danke. Wie genau schreibe ich für iv die Abgeschlossenheit an?

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Ist nicht abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit Skalaren.

Sei  etwa f ∈ U4,  mit f(x) = x^2

dann gilt für  -2*f ja    f(x) = -2x^2  z.B. für x=1

(-2*f)(1) = -2* f(1)  = -2*1^2 = -2   < 0 .