Wie lautet das Bild und der Kern, in dieser Abbildung?

Question

$$Gegeben\quad sei\quad die\quad Abbildung\quad { G:R }^{ 3 }\rightarrow { R }^{ 4 },\quad definiert\quad durch:\\ G\quad \left( \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \right) =\left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \quad und\quad G\quad \left( \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right) \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \\ Was\quad ist\quad hier\quad der\quad Kern\quad und\quad was\quad ist\quad das\quad Bild\quad und\quad warum?\\ \\ \\$$

Comments

Was Kern und Bild ist, ist abhängig davon, wohin der dritte Basisvektor abgebildet wird.

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Hallöchen, danke für deine Antwort.

Also wenn ich nun z.B. zeigen sollte, dass der Vektor

$$\left( \begin{matrix} 5 \\ -3 \\ 22 \\ 12 \end{matrix} \right)$$ im Kern liegt.

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Der kann nicht im Kern liegen. Der Kern ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs (also von ℝ³). Der von dir angegebene Vektor liegt nicht im Definitionsbereich.

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Wie meinst du es mir dem dritten Vektor?

Der kann nicht im Kern liegen. Der Kern ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs (also von ℝ3). Der von dir angegebene Vektor liegt nicht im Definitionsbereich.

Also könnte er ins Bild passen? Denn R⁴

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Also könnte er ins Bild passen? Denn R⁴

Ja, wenn er eine Linearkombination von $\left(\begin{smallmatrix}2\\-2\\0\\1\end{smallmatrix}\right)$ und $\left(\begin{smallmatrix}3\\-4\\0\\2\end{smallmatrix}\right)$ ist.

Wie meinst du es mir dem dritten Vektor?

Berechne $G\left(\left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\right)$

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Berechne $$G\left(\left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\right)$$

Ist schwierig ohne die Abbildungsvorschrift zu kennen.

Ich muss gestehen, ich verstehe nicht genau wie ich dies machen soll.

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Ich muss gestehen, ich verstehe nicht genau wie ich dies machen soll.

Unter Ausnutzung der Linearität:

Ist G eine lineare Abbildung von V nach W und u, v ∈ V, dann ist

        G(p·u + q·v) = p·G(u) + q·G(v)

für alle p, q aus dem zugrunde liegenden Körper. Du brauchst also nur

$\left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)$ als Linearkombination $p\cdot\left(\begin{smallmatrix}1\\-1\\2\end{smallmatrix}\right) + q\cdot\left(\begin{smallmatrix}2\\-1\\0\end{smallmatrix}\right)$ zu schreiben und $p$ und $q$ bestimmen. Dann ist $G\left(\left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\right) = p\cdot\left(\begin{smallmatrix}2\\-2\\0\\1\end{smallmatrix}\right) + q\cdot\left(\begin{smallmatrix}3\\-4\\0\\2\end{smallmatrix}\right)$