Riemannsumme, Sinus. Bilden Sie den Grenzwert m-> Unendlich.

Question

Berechnen Sie die Riemann Summe Sm der Funktion f(x)=sin (x) für das Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich b. Bilden Sie den Grenzwert m-> Unendlich.

Wie geht diese Aufgabe? Ich muss Sie innerhalb von 30 Min fertig haben, könnte mir jemand schnell behilflich sein?

Comments

Hat sich deine Frage inzwischen erledigt?

Vielleicht konntest du anhand der "ähnlichen Fragen" schon einen Ansatz aufstellen (?)

Bsp.

https://www.mathelounge.de/448657/reihe-riemannsche-summe-interpretieren-grenzwert-bestimmen

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Ich wiederhole gerade nochmal das Thema und versuche Aufgaben zu lösen, um es zu verinnerlichen. Hatte es aber zu dem Zeitpunkt eilig.

Answer 1

Berechnen Sie die Riemann Summe Sm der Funktion f(x)=sin (x) für das Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich b.

Sei x_i ∈ [0, b] für jedes i ∈ {0, ..., m}, so dass x₀ = 0 und x_m = b und x_i < x_j falls i < j.

Sei t_i ∈ [x_i, x_i+1] für jedes i ∈ {0, ..., m-1}.

Dann ist S_m = ∑_i=1..m sin(t_i)·(x_i - x_i-1)

Bilden Sie den Grenzwert m-> Unendlich.

Das ist dann lim_m→∞ ∑_i=1..m sin(t_i)·(x_i - x_i-1).

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist das -cos(b) - (-cos(0)) = 1-cos(b). Das gilt aber nur dann, wenn gleichzeitig die Breite des größten Intervalls gegen 0 konvergiert. Es reicht also nicht, das letzte intervall immer weiter zu unterteilen und zu hoffen, dass der Grenzwert gleich dem Integral ist.