Notation zur Mengenlehre verstehen: (Ai)i∈I = { Ai | i∈I }

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Mengenfamilie 

(Ai)i∈I = { Ai | i∈I } mit Indexmenge I = N\{0} und Ai = { x∈R| −i ≤ x  ∧  x ≤ 1/i } für jedes i∈I. 

Beweisen Sie folgende Identität durch Nachweis der beiden Inklusionen.

∩ Ai = { x∈R | −1 ≤ x  ∧  x ≤ 0 }

i∈I

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand hier vielleicht helfen und mir kurz übersetzen wie ich das zu lesen hab ? In meinem Skript zur Vorlesung find ich nichts, was mir hilft.

Die Notation, so wie sie in der Aufgabe steht, verstehe ich leider nicht.

Kann mir jemand vielleicht ein Beispiel machen, wie das aussehen könnte, wenn man für i und x etwas konkretes einsetzt?

Answer 1

(A_i)_i∈I = { A_i | i∈I }

Es ergibt keinen Sinn, hier für i etwas konkretes einzusetzen.

mit IndexmengeI = N\{0}

Die Mengenfamilie besteht also aus den Mengen A₁, A₂, A₃, ...

A_i = { x∈R| −i ≤ x  ∧  x ≤ 1/i }

Was hindert dich denn daran, in dieser Gleichung selbst für i etwas konkretes einzusetzen?

∩_i∈I A_i = { x∈R | −1 ≤ x  ∧  x ≤ 0 }

Auf deutsch:

        Jede Zahl zwischen -1 und 0 (inklusive) ist in jedem A_i enthalten.

        Keine andere Zahl ist in jedem A_i enthalten.

Comments

also für A3 würde das dann bedeuten das bei

A3 = { x∈R| −3 ≤ x  ∧  x ≤ 1/3 } die menge A3 = { -3, ... , 1/3 } ist ?

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Die Auslassungspunkte "..." werden verwendet, wenn die ausgelassenen Zahlen nach einem bestimmten Bildungsgesetz gebildet werden, und dem Leser klar ist, wie dieses Bildungsgesetz lautet. Zum Beispiel meine ich mit {-7, ..., 4} die Menge der ganzen Zahlen von -7 bis 4. Aber ist dem Leser klar, dass es um ganze Zahlen geht? Ist dem Leser klar, dass ich in Einerschritten weiter gehe? Fragen, die man vermeiden kann indem man auf Auslassungspunkte verzichtet.

A₃ = { x∈R| −3 ≤ x  ∧  x ≤ 1/3 }

Das ist die Menge aller reellen Zahlen, die mindestens -3 und höchstens 1/3 sind. Also das abgeschlossene Intervall [-3, 1/3]. Insbesondere sind es überabzählbar viele Zahlen, was die Verwendung der Auslassungspunkte eigentlich ausschließt (zumahl es die gängigere Notation als Intervall gibt).

Welche Zahlen sind denn sowohl in A₁, als auch in A₃ als auch in A₅ enthalten? Einzeichnen auf einer Zahlengeraden hilft dabei.

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Vielen dank schonmal, auch danke für die extra erklärung mit den Auslassungspunkten

Welche Zahlen sind denn sowohl in A1, als auch in A3 als auch in A5 enthalten? Einzeichnen auf einer Zahlengeraden hilft dabei.

 ∩i∈I Ai = { x∈R | −1 ≤ x  ∧  x ≤ 0 }

wenn man die Schnittmenge für A1,A3,A5 bildet müsstet das die Menge der reellen Zahlen, die mindestens -1 und höchstens 1/5 sind ergeben.

also Intervall von [-1, 1/5]

die este Inklusion wird immer -1 bleiben und die 2te wird gegen 0 gehen, je höher man das entprechende i einsetzt wenn  ich das jetzt richtig verstanden hab.

jetzt nur noch die frage wie ich das beweise ^.^

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wenn man die Schnittmenge für A1,A3,A5 bildet müsstet das die Menge der reellen Zahlen, die mindestens -1 und höchstens 1/5 sind ergeben.

Das ist richtig.

die este Inklusion wird immer -1 bleiben und die 2te wird gegen 0 gehen, je höher man das entprechende i einsetzt wenn  ich das jetzt richtig verstanden hab.

Besser gesagt, die linke Intervallgrenze bleibt -1 und die rechte konvergiert gegen 0. Aber deine Idee ist richtig.

jetzt nur noch die frage wie ich das beweise ^.^

Sei x ∈ ℝ mit -1 ≤ x ≤ 0. Zeige, dass x ∈ A_i für jedes i ∈ ℕ\{0} ist.

Sei x ∈ ℝ mit x < -1. Zeige, dass es ein i ∈ ℕ\{0} gibt, so dass x ∉ A_i ist.

Sei x ∈ ℝ mit x > 0. Zeige, dass es ein i ∈ ℕ\{0} gibt, so dass x ∉ A_i ist.