Konvergenzradius ist e?

Question

Aufgabe:

Summe von n=0 bis unendlich.  n*e^(-n) *x^n

Problem/Ansatz:

Ich hätte nur den Teil von n*e^(-n)  untersucht, dass x^n darf man meines Wissens nach weglassen.

Mit dem Quotientenkriterium komm ich leider nicht auf e. Siehe meine Rechnung:

$$\left| \frac { n e ^ { - n } } { ( n + 1 ) \cdot e ^ { - ( n + 1 ) } } \right| = \frac { n } { ( n + 1 ) e ^ { - 1 } } $$
$$ = \frac { n e } { ( n + 1 ) } $$

Reicht es eventuell, wenn ich mir nur die höchsten Potenzen von n anschaue. Hier ist das ja n1 und dann wäre es ja en/n also geht es gegen e?

Answer 1

lim_(n->unendlich) ((ne)/(n+1))           | kürzen mit n

= lim_(n->unendlich) ((e)/(1+1/n))

= e/(1+0)

=e

reicht es eventuell wenn ich mir nur die höchsten potenzen von n mir anschau... hier ist das ja n^1
Das stimmt, ist aber etwas gefährlich in der Notation. (du musst zumindest lim mitschleppen)

lim_(n->unendlich) ((ne)/(n+1))          | höchste Exponenten von n betrachten
= lim_(n->unendlich) (e)/(1)
=e