Integral abschätzen. Wie kann ich zeigen, dass ∫ |f|dµ<=sup |f| ?

Question

Ich brauche kurz eure Hilfe. Es sei f eine Funktion im Raum aller μ-messbaren Funktionen.

Ich weiß aber gar nicht ob das jetzt so relevant ist.

Ist f beschränkt, so gilt

∫ |f|dµ<=sup |f|.   (1)

Kann mir jemand sagen, wieso (1) gilt, bzw. wie man das beweisen kann? Ich komme da leider gerade nicht weiter.

Answer 1

Für das Riemann-Integral hätte ich da was:

Es ist ja die auf dem Integrationsbereich

konstante Funktion  f1(x) =  sup(|f|)   für alle x aus dem Bereich

größer oder gleich f2 =  |f| . Dann geht es so:

http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node207.html

Comments

Ok und kann ich das hier anwenden? Weil ich eigentlich beim Lebesgue Integral bin.

Und wenn ja was ist dann bei mir (b-a)? Das muss doch bei mir wegfallen

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Damit kenne ich mich nicht so aus.

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Ich halte die Aussage für falsch

Nimm mal die konstante Funktion f(x) = 1.

Dann ist das Lebesgue Integral von |f| =∞, aber das Supremum von |f| =1

Sollte die Aussage vielleicht

$$ \int_X |f| d\mu \le \sup |f| \cdot \mu(X) $$

lauten? (Wobei X dein zugrundeliegender Maßraum ist.)

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Also ich soll insgesamt zeigen, dass für f, g im Raum alles μ-messbaren Funktionen gilt.

Ist f beschränkt und g integrierbar, so ist auch fg integrierbar und es gilt

|∫ fg dµ |<=sup |f |∫ |g|dμ.

Es gilt doch |∫ fg dµ |<=∫ |fg|dμ = ∫ |f|*|g|dμ =∫ |f|dμ *∫ |g|dμ

und nun muss doch aus ∫ |f|dμ<= sup |f| gelten und das weiß ich jetzt leider nicht wie ich das beiwesen kann?

Was ist denn dann mein μ(X) und kannst du mir sagen wie ich den Beweis weiter mache?

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Aha.

Nein,  ∫ |f|dμ<= sup |f| muss überhaupt nicht gelten, das ist im allgemeinen nämlich falsch.

Mach das doch so:

Zeige |(f*g)(x)| <= |((sup |f|)*g)(x)| für alle x. Verwende dann die Monotonie des Integrales und dann kannste das Supremum als Skalar aufgrund der Linearität rausziehen.

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Ok schade aber danke für deine Hilfe. Und wie zeige ich |(f*g)(x)| <= |((sup |f|)*g)(x)| ?

Kann ich das dann wie beim riemann integral machen? Oder gilt das gleich weil f beschränkt ist und somit immer <=  gilt?

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Dass f beschränkt ist brauchst du eigentlich nur für sup |f| < ∞.

Sei x eine reelle Zahl.

|(fg)(x)|=|f(x)g(x)|=|f(x)|*|g(x)|

≤ (sup |f|) |g(x)| = |((sup |f|)g)(x)|

Also

|fg| ≤ |(sup |f|)g|

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Super danke für deine Hilfe.

Und dann mache ich also erst diese Abschätzung und erst dann aus der letzten Zeile das Integral?

Also geht es dann weiter mit

|∫ fg dµ |<=∫|fg|<=∫ |(sup |f|)g| dµ =|(sup |f|)*∫ |g| dµ

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So hätte ich das zumindest gemacht. Funktioniert natürlich nur wenn ihr monotonie und Linearität des Integrals schon gezeigt habt.

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Hammer vielen lieben Dank für deine Hilfe! Ja Monotonie und Linearität haben wir gemacht. Ich kann dir leider keinen Daumen hoch geben auf die Kommentare sonst hätte ich das gemacht!! Du hast mir wirklich sehr weitergeholfen!!!