Sind G1 und G2 Gruppen, so lässt sich auf dem Produkt G1×G2 die folgende Verknüpfung definieren,
(g1,g2)·(g'1,g'2):=(g1g'1,g2g'2) ,
wobei g1,g'1∈G1 und g2,g'2∈G2 beliebige Elemente sind
a) Beweisen Sie, dass G1×G2 mit dieser Verknüpfung wieder eine Gruppe bildet.
Zu zeigen (Gruppenaxiome):
1. ( G1×G2, . ) ist abgeschlossen. [ ich schreibe . als * und setze die Indizes nicht 'tief']
2. * ist assoziativ
3. es gibt ein neutrales Element
4. es gibt Inverse Elemente
Voraussetzung: Gruppenaxiome gelten für (G1,Multiplikation1) und (G2, Multiplikation2)
Beweis:
1. ( G1×G2, . ) ist abgeschlossen. [ ich schreibe . als * und setze die Indizes nicht 'tief', ausser sie sind durch Kopie schon so]
Seien (g1,g2) (g'1,g'2) Elemente von G1 x G2 , so gilt g1 E G1, g'1 E G1 g2 E G2, g2' E G2.
Da Mult. in G1 und G2 jeweils abgeschlossen ist, gilt g1g'1 E G1,g2g2' E G2 ,
Also (g1,g2)·(g'1,g'2):=(g1g'1,g2g'2) E G1 x G2 q.e.d.
2. * ist assoziativ
Seien (a,b),(c,d),(e,f) E G1 x G2
So gilt ((a,b)*(c,d))*(e,f) = [def. *]
(ac,bd)*(e,f) = [def. *]
(ace,bdf) = [Assoziativität in G1 resp. G2]
(a(ce),b(df)) = [def. *]
(a,b)*(ce,df) = [def. *]
(a,b)*((c,d)*(e,f)) q.e.d.
3. es gibt ein neutrales Element
Sei (a,b) E G1 x G2 und seien e1 und e2 die neutralen Elemente von G1 resp. G2
Ich zeige, dass (e1,e2) das neutrale Element von (G1 X G2, *) ist.
Beweis
(e1,e2)*(a,b) = [def. *]
(e1 a , e2 b) = [G1 und G2 sind Gruppen]
(a,b)
und
(a,b)*(e1,e2) = [def. *]
(a e1, b e2) = [G1 und G2 sind Gruppen]
(a,b)
q.e.d.
4. es gibt Inverse Elemente
Sei (a,b) E G1 x G2
Das G1 und G2 Gruppen sind existieren a-1 und b-1 in G1 resp. G2
Ich zeige, dass (a-1, b-1) das zu (a,b) gehörige Inverse Element ist.
Beweis:
(a,b) * (a-1 , b-1) = [def. *]
(a a-1 ,b b-1) = [Eigenschaft von G1 resp. G2]
(e1, e2)
(a-1,b-1) * (a , b) = [def. *]
(a-1 a ,b-1 b) = [Eigenschaft von G1 resp. G2]
(e1, e2)
q.e.d.
b) Nur mal ein Anfang. Ich weiss nicht genau welche Eigenschaften von Z als bekannt vorausgesetzt werden können
Wegen der Invertierbarkeit kommt als Gruppenverknüpfung auf Z nur die Addition in Frage.
(Z, +) ist eine Gruppe.
Gemäss a) ist (Z x Z, *) ebenfalls eine Gruppe. Definition der Verknüpfung:
(g1,g2)*(g'1,g'2):=(g1 +g'1,g2 +g'2)
Um zu zeigen, dass das nicht zyklisch ist, muss man zeigen resp. wissen, dass die Addition in Z nicht zyklisch ist.
Achtung: Addition sieht hier plötzlich so aus wie Multiplikation. Wähle ein besseres Zeichen!
normale Schreibwiese a + a = 2a in *-Schreibweise a*a = a^2
a + nb = a (n E IN) geht nicht falls b ≠ 0, deshalb nicht zyklisch
zu: Sind die Gruppen ℤ/4ℤ und ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ isomorph?
Z modulo 4Z hat die Elemente (0,1,2,3).
ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ hat die Elemente von ((0,1) X (0,1), *). Also auch 4 Elemente.
Nun muss man schauen, was passiert, wenn man die Elemente miteinander verknüpft.
Je 4*4 Berechnungen. und dann die Gruppenstrukturen vergleichen. z.B. auf Zyklen untersuchen.
Ein Anfang für die Verknüpfungstabelle von ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ
(0,0)*(0,0)=(0+0,0+0) =(0,0)
(0,1)*(0,0)=(0+0,1+0)=(0,1) offensichtlich ist (0,0) das neutrale Element bez. Verknüpfung
Anmerkung: * in dieser Gruppe entspricht aber nicht der Addition im binären Zahlensystem, denn
(0,1)+(0,1) = (0+0, 1+1)= (0,0)
und
(1,0) + (1,0) = (0,0) sowie (1,1) + (1,1) = (0,0)
Binär modulo 4 gerechnet wäre 01 + 01 = 10 und 10 + 10 = 0
usw.
Zur Verknüpfungstabelle von Z modulo 4Z
0+0 = 0
0+1 = 1 0 ist das neutrale Element
0+2=2
0+3=3
1+0=1
1+1=2
…
1+3=0
2+3=1
3+3=2
Zyklen
a+0=a in Verknüpfungsschreibweise 0^1 = e
a+1+1+1+1 = a 1^4=e
a+2+2 = a 2^2=e
a+3+3+3 +3 = a 3^4=e
* in dieser Gruppe heisst:
(0,1)+(0,1) = (0+0, 1+1)= (0,0)
und
(1,0) + (1,0) = (0,0)
sowie
(1,1) + (1,1) = (0,0)
In Verknüpfungsschreibweise
(0,0)^1 = e
(0,1)^2 = e
(1,0)^2 = e
(1,1)^2 = e
Somit sind hier keine Zyklen der Länge 4 vorhanden. Also sind Z/4Z und Z/2Z x Z/2Z bez. * nicht isomorph
PS. Ist etwas ein Gewurg; ich weiss.
