Question

Es sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum und f : V → V ein
Endomorphismus. Zeigen Sie, dass genau dann eine Basis B von V existiert, für
die die Matrix MB,B(f) die Gestalt 
a b
0 d
hat, wenn es einen eindimensionalen
Unterraum L ⊆ V mit f(L) ⊆ L gibt.

Komme auf keinen ansatz:s

Answer 1

In den Spalten der Matrix stehen die Koeffizienten zur

Darstellung der Bilder der Basisvektoren. Wenn sie also diese

Form hat und v1 , v2 sind die Basisvektoren dann gilt

f(v1) = a*v1 + 0*v2   = a*v1

f(v2) = b*v1 + d*v2

Betrachte nun den von v1 aufgespannten Unterraum  L ,

der ist eindimensional, da v1 ein Basisvektor von V, also

ungleich 0 ist.  Und er besteht aus allen Vielfachen von v1,

also allen  x*v1  mit x∈K.

 Und für alle gilt f(x*v1) = a*(x*v1) = (a*x)*v1 also

ist immer f(x*v1)  ∈ L und damit  f(L) ⊆ L . Das war ==>

zu <==  :   Wenn es andererseits so ein  L gibt, dann wähle

eine Basis von L, die besteht (1-dim ! ) aus einem v1, das

du zu einer Basis von V ergänzen kannst.

Und f(v1) ∈ L, also f(v1) = a*v1  und damit ist die erste

Spalte der Matrix

a
0

q.e.d.