Aufgabe:
Sei die Ursprungsebene \( E: \mathbb{Q}(1,2,1) + \mathbb{Q} (-3,2,3) \) gegeben. Für einen Punkt \( x \in \mathbb{Q}^3 \) bezeichnen wir mit l(x) den Lotfußpunkt von x auf E, das heißt den eindeutigen Punkt \( l(x) \in E \) derart, dass der Verbindungsvektor von x zu l(x) orthogonal zu E ist.
a) Bestimmen Sie l(x) in Abhängigkeit der Koordinaten \( x_1; x_2; x_3 \) von x.
b) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( l : \mathbb{Q}^3 \longrightarrow \mathbb{Q}^3; x \longrightarrow l(x) \), die einem Vektor den zugehörigen Lotfußpunkt auf E zuordnet, linear ist.
c) Bestimmen Sie Ker l sowie Im l und geben Sie jeweils eine Basis dieser Unterräume an.
Ansatz:
Bevor ich anfing die Aufgabe zu bearbeiten wollte ich erst alle Informationen versuchen zu abschöpfen die gegeben waren:
$$\text{ 1. Sei } E: \mathbb{Q}(1,2,1) + \mathbb{Q} (-3,2,3) \text{ eine Ursprungsebene} \Longrightarrow \mathbb{Q} (0,0,0) \in E \\[10pt]\text{ 2. } \exists! x\in \mathbb{Q}: l(x) \perp E, l(x) \in E: \vec{x} \perp l(x)=E$$
a) Ich vermute ich soll l(x) irgendwie in die Gleichung einsetzen, ein LGS erstellen und nach x auflösen. Ich finde ich nicht den Ansatz wie anfange mein LGS aufzustellen, weil ich könnte zwar l(x) umschreiben zu Q(x_1,x_2,x_3) aber ich weiss nicht wie ich weiter machen soll.
b) Hier habe ich es geschaft ein Beweisanfang aufzustellen, jedoch weiss ich nicht was mein nächster schritt sein sollte:
$$\text{ Seien } \mathbb{Q}^3 \land \mathbb{Q}^3 \text{ zwei Vektorräume } l:\mathbb{Q}^3 \longrightarrow \mathbb{Q}^3, x \longrightarrow l(x) \\[5pt]\text{ Zu zeigen, die Abbildung l ist linear wenn das folgende gilt:} \\\text{(L1) } f(x +l(x))= f(x)+f(l(x)) :\forall x,l(x) \in \mathbb{Q}^3 \\\text{(L2) } f(λ *x)= λ*f(x): \forall λ \in K, \forall x \in \mathbb{Q}^3$$
c) Um den Kern zu bestimmen muss ich aus der Gleichung von l eine Abbildungsmatrix bilden und sie dann gleich dem Nullvektor setzen. weiter dann via Gauß-jordan lösen. Meine Frage ist aber was ist denn genau meine Gleichung von l? und wie würde ich da meine Abbildungsmatrix bilden. ( Ich kann leider nicht das LGS von l aus der aufgabenstellung erkennen woraus ich meine Abbildungsmatrix bilden würde....) Auch habe ich es nicht verstanden wie man die Basis von der Kernmenge bestimmt.
Wie ich die Bildmenge von l bestimme habe ich leiner keine Idee bzw. Methode, das gleiche gilt für die Basis der Bildmenge von l.
