Stochastik, n gesucht, Gleichung lösen:

Question

Vorab - es geht um folgende Gleichung:

n * 0,4 * 0,6^(n-1) = 0.99

Die Gleichung ist aus einer Aufgabe aus der Stochastik entstanden, dabei waren folgende Komponentn gegeben:

p = 0,4

k = 1

P(X = 1) = 0,99

Daraus ergibt sich für mich die Gleichung: P(X=1) = (n über 1) *(0,4^1) * 0,6^(n-1) = 0,99

Wenn ich versuche, über den natürlichen Logarithmus auf eine Lösung zu kommen, enden meine Kompetenzen bei:

n*ln(n) = -0,774069...

Jetzt meine Frage, kann man diese Gleichung überhaupt lösen, ist mir beim logarithmieren ein Fehler unterlaufen oder kann man generell mit den gegebenen Daten auf keine Lösung kommen?

Ich wäre wirklich sehr, sehr dankbar über eine Antwort. Die Aufgabe bereitet mir bereits seit Stunden Kopfzerbrechen...

Comments

P(X = 1) = 0,99

Hieß es nicht vielleicht

P(X ≥ 1) ≥ 0,99?

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@Gast az0815

Unklar...

In dem Fall den du darlegst, wäre das ganze ja gar kein Problem.

Answer 1

\(\binom{n}{1}=n\) ist ein Sonderfall. Am weitesten vereinfach ergibt sich die Gleichung \(0.6^n n = 1.485\) . Die kannst du nur mit der Lambertschen W-Funktion lösen. Es gibt keine reelle Lösung dafür. 

Comments

"Es gibt keine reelle Lösung dafür."

Vielen Dank für deine Antwort, ich war wirklich unsicher, ob mir Irgendetwas entgangen ist, aber dann wird der Fehler wohl an anderer Stelle liegen (für Details siehe Kommentar auf andere Antwort).

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Es gibt aber z.B. für die kumulative Bin.Verteilung Tabellen, wo du dein k und Ergebnis ablesen kannst und so auf dein n kommst.

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Die Tabellen hatte ich auch schon überprüft, da war nichts zu finden. Außer, dass ab n=1 die "P"-Werte bei k=1 unter 0,4 fallen. Ich hatte mir auch ein kleines Programm geschrieben, dass für n von 0 bis 5 eine Variable mit 0,000000001 hochzählt, da kam aber auch nichts Vernünftiges raus. Außerdem hat man die Möglichkeit in Excel Wahrscheinlichkeitsverteilungen konkret darzustellen, aber da kam wieder nur das mit 40% fallend raus...

Answer 2

"Wenn ich versuche, über den natürlichen Logarithmus auf eine Lösung zu kommen, enden meine Kompetenzen bei:

n*ln(n) = -0,774069..."

Wenn n*ln(n) ein negatives Ergebnis haben sollte, müsste ln(n) negativ sein und n demzufolge zwischen 0 und 1 liegen...

"Die Gleichung ist aus einer Aufgabe aus der Stochastik entstanden,"

... und dabei hast du möglicherweise einen Fehler gemacht.

Wie lautet die Originalaufgabe, die dich zu dieser Gleichung geführt hat?

Comments

Die Aufgabe kam in einer Klausur vor, an den genauen Kontext (Umfrage oder Ähnliches), geschweige denn an die ausschlaggebenden Formulierungen, kann ich mich nicht mehr erinnern. Ich bin mir aber sehr sicher, dass es nicht um "mindestens 1" als "k" ging, das wäre kein Problem gewesen (Gegenwahrscheinlichkeit usw.). Die genauen Zahlen waren noch im Taschenrechner gespeichert.

Die Möglichkeit, dass ich die Aufgabenstellung fehlinterpretiert habe (bzw. dass ein Fehler in der Aufgabenstellung lag, das ist zwar deutlich unwahrscheinlicher, aber nicht auszuschließen), habe ich natürlich in Betracht gezogen und das ergibt sich dann daraus, dass man mit den gegeben Daten/Informationen auf keine (reelle) Lösung kommen kann (wie es in der anderen Antwort nähergelegt wurde).

Mein Problem lag darin, dass mir die ganze Zeit diese Gleichung im Kopf herum schwirrte und ich Gewissheit darüber brauchte, ob ich einfach nur Wissenslücken habe oder die Gleichung nicht stimmt.

Das ist hier im Wesentlichen geglückt, aber für die endgültige Gewissheit werde ich mich wohl noch einige Zeit gedulden müssen...

Wie auch immer, vielen Dank für deine Antwort und du hattest auf jeden Fall den richtigen Riecher ;-)