Kann ich bei der Brechnung von der Inversen Matrix durch Umformung von A|E_n auch Zeilen tauschen?

Question

angenommen ich habe eine invertierbare Matrix A und möchte das Inverse berechnen, indem ich die linke Seite des erweiterten Gleichungssystems(siehe unten) so umforme, dass dort die Einheitsmatrix(E_n) steht.

$$A= \begin{pmatrix} 0 & d & g \\ b & e & h\\ c & f & i \end{pmatrix} $$

1)   0  d  g | 1 0 0

2)   b  e  h | 0 1 0       

3)   c   f  i  | 0  0 1

Könnte ich jetzt Zeile 1 mit Zeile 2 oder 3 tauschen? Angenommen ich würde Zeile 1 mit Zeile 3 tauschen, würde es dann so aussehen?:

1)  c  f  i  | 0  0 1

2)  b  e  h | 0 1 0       

3)  0  d  g | 1 0 0

Mich irritieren die senkrechten Striche, kann ich A|E_n genauso wie ein lineares Gleichungssystem behandeln oder als was?

Answer 1

Wenn du mit dem Umformen fertig bist, also

links die Einheitsmatrix hast, steht rechts die Inverse.

Zeilen tauschen ist ok.

Comments

Danke für deine Antwort :), kannst du mir noch die andere Frage beantworten:

Mich irritieren die senkrechten Striche, kann ich A|E_n grundsätzlich genauso wie ein einziges lineares Gleichungssystem behandeln oder als was?

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Im Prinzip kannst du das, musst nur halt am Schluss die

ganze rechte Seite nehmen für die Inverse.

Answer 2

Die schreibweise A|E_n verschleiert den eigentlichen Gedanken:

auf

A x = b

werden z.B. L_i Matrizen (die Zeilentausche und Zeilenadditionen durch führen) losgelassen so dass

\(L_n L_{n-1} ... L_2 L_1\cdot A \cdot x = E_n \cdot x = L_n L_{n-1} ... L_2 L_1 \cdot b \)

die L_i ergeben die Inverse von A

\( x = A^{-1} b\)

L4 L3 L2 L1 A = E

\(\scriptsize  \, \left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)   \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&-2\\0&1&-2\\0&0&1\\\end{array}\right)  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-1&0\\0&2&-1\\\end{array}\right)  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-2&1&0\\-3&0&1\\\end{array}\right) \cdot \, \left(\begin{array}{rrr}1&2&2\\2&3&2\\3&4&1\\\end{array}\right)\)

x= L4 L3 L2 L1 b = A^-1 b

L1 liest sich z.B. Zeile2=-2 Zeile1 + Zeile2, Zeile3=-3Zeile1 + Zeile3

Comments

Daumen hoch :) Danke für die Antwort, welche mir beim tieferen Verständnis geholfen hat, musste erst darüber nachdenken, bevor ich mich zurückgemeldet habe. Auch wenn ich dein Beispiel erst noch ausrechnen muss, um zu checken, ob auch die Einheitsmatrix herauskommt

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Ja, danke...

Die Einheitsmatrix kommt raus:-). Die Li lassen sich übrigens vereinzelt recht einfach invertieren, multipliziere alles außer der Diagonalen mit -1. Also 2E-Li. Zum Nachrechnen empfehle ich ein CAS z.B. GeoGebra...