Differenzenquotienten berechnen (x³)

Question

Hi,


ich komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis bei folgender Aufgabe.


f(x)=x³

Ableitungsfunktion mithilfe des Differenzenquotienten berechnen.


Meine Rechnung:

(x+h)³-x³ / h

3(x+h)²-x³ / h

3(x²+2*x*h+h²)-3x²

3x²+6xh+3h²-3x²

3x²+6x+3h²-x³ [h weggekürzt]


Leider ist das -x³ negativ und die 6x sind immer noch da.

Answer 1

Hi Afrob, 

 

warum machst Du in der 2. Zeile Deiner Berechnung eine Ableitung?

 

Besser ist das: 

f(x) = x³

[(x + h)³ - x³] / h

[(x + h)² * (x + h) - x³] / h

[ (x² + 2xh + h²) * (x + h) - x³ ] / h

(x³ + x²h + 2x²h + 2xh² + xh² + h³ - x³) / h

(3x²h + 3xh² + h³) / h | :h

(3x² + 3xh + h²)

Für h -> 0

geht dieser Term gegen 

3x²

 

Besten Gruß

Comments

da muss ich mich wieder mal bedanken :)

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Kein Problem, gern geschehen :-)

Dieses Verfahren ist eigentlich nicht so schwierig; man muss nur beim Aufschreiben sehr aufpassen, dass man keine kleinen, aber entscheidenden Flüchtigkeitsfehler macht ...

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ja, das ist wahr. hier was es allerdings ein denkfehler meinerseits.

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Das passiert den Besten :-D

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eben :-D

Ich habe hier noch eine Aufgabe, die einen Bruch enthält:

f(x)=3/4+5x

Ich bin an dieser Stelle stehengeblieben:

[3/4+5x+5h - 3/4+5x] / h


Leider keine Ahnung, wie ich hier weiterrechnen soll.

G

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Steht unter dem Bruchstrich

4

oder
4 + 5x

??

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ach, entschuldigung.


4+5x

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f(x) = 3 / (4 + 5x)

[f(x + h) - f(x) ] / h =

[3/(4+5(x+h)) - 3/(4+5x)] / h

Wir bringen im Zähler alles auf den gemeinsamen Nenner [4+5(x+h)]*[4+5x]

{3*(4+5x)/[(4+5x)*(4+5(x+h)] - 3*(4+5x+5h)/[(4+5x)*(4+5x+5h)] / h

(12 + 15x - 12 - 15x - 15h) / [(4+5x)*(4+5x+5h)] / h

-15h / [(4h + 5hx)*(4+5x+5h)] =

-15h / 16h + 20hx + 20h² + 20hx + 25hx² + 25h²x | :h

-15 / (16 + 20x + 20h + 20x + 25x² + 25hx)

-15/ (25x² + 40x + 25hx + 20h + 16)

Und das geht für h -> 0 gegen

-15/(25x² + 40x + 16)

 

Das tut weh :-D

 

Aber das Ergebnis stimmt laut 

www.matheguru.com/rechner/ableiten

 

Besten Gruß

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hi,


danke schonmal für die antwort.

leider kann ich nicht ganz nachvollziehen, wie du hier


-15h / [(4h + 5hx)*(4+5x+5h)] =


bei (4h + 5hx) das h hergeholt hast. bzw. welcher rechenschritt ging dem voraus?


G

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@ Afrob: 

Jetzt hast Du mich wirklich etwas aus der Fassung gebracht :-)

 

Bis hierhin

{(12 + 15x - 12 - 15x - 15h) / [(4+5x)*(4+5x+5h)]} / h 

war alles klar?

 

Nun gilt einfach

(a/b) / c = a/(b*c), denn 

(a/b) / c = a/b * 1/c = (a*1)/(b*c) = a / (b*c)

 

a ist hier (12 + 15x - 12 - 15x - 15h)

b ist hier [(4+5x)*(4+5x+5h)]

und c ist hier h

 

Ich habe also b mit c, sprich

[(4+5x)*(4+5x+5h)] mit h multipliziert, und das ist

(4+5x)*(4+5x+5h)*h = h*(4+5x)*(4+5x+5h) = (4h+5xh)*(4+5x+5h)

 

Nachvollziehbar?

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Oh je, diese Rechenregel war mir nicht bekannt. (Schande über mein Haupt)


Habe die gesamte Aufgabe noch einmal durchgerechnet und bin zum selben Ergebnis gekommen wie du. Nur, wenn ich die Aufgabe eingebe, kommt da was anderes raus. Hier der entsprechende Link:


http://www.ableitungsrechner.net/#expr=%203%20%2F%20%284%20%2B%205x%29


Das wären dann doch

-15 / (16+40x+25x)


also nicht 25x², oder?

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@ Afrob: 

Fein, dass Du zum gleichen Ergebnis gekommen bist, dann sind wir auf der sicheren Seite :-)

 

Die von Dir verlinkte Seite gibt das Ergebnis an: 

-15 / (5x + 4)²

Wir lösen den Nenner stur auf und erhalten nach Anwendung der 1. binomischen Formel: 

-15 / (25x² + 40x + 16)

 

Sieht doch eigentlich ganz gut aus, nicht wahr :-D

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juhu :) Dann habe ich wohl nur nicht richtig aufgelöst.

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Klasse, dann können wir beide locker in den Sonntag starten :-)

Liebe Grüße

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Habe hier noch eine Aufgabe, für die ich keinen neuen Thread öffnen wollte. :)


f(x) = a/(b+cx)


Meine Rechnung:


a/(b+c(x+h)) - a/(b+cx)

[a(b+cx)/(b+cx+ch)*b+cx)] - [a(b+cx+ch) / (b+cx)*(b+cx+ch)]

(2acx+ach) / (bh+cxh)*(b+ch+ch)

(2acx+ach) / (b²h+bcx+bch²+bcxh+c²x²h+c²xh²)

= (2acx+ac) / (b²+2bcx+c²x²)


Dem Ableitungsrechner zufolge stimmt das aber nicht, irgendwas mache ich also falsch.

http://www.ableitungsrechner.net/#expr=a%2F%28b%2Bcx%29


Gruß

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Hi Afrob, 

 

f(x) = a / (b + cx)

[(a / (b + c(x+h)) - (a / (b + cx)] / h | gemeinsamer Nenner: (b + c(x+h)) * (b+cx)

{a * (b+cx) / [(b + c(x+h)) * (b + cx)] - a * (b + c(x+h)) / [(b + c(x+h)) * (b +cx)]} / h

(ab + acx - ab - acx - ach) / [(b + cx + ch) * (b + cx)] / h

-ach / [(b + cx + ch) * (b + cx)] / h

-ac / [(b + cx + ch) * (b + cx)]

geht für h -> 0

gegen

-ac / [(b + cx) * (b + cx)] =

-ac / (b + cx)²

 

Der Ableitungsrechner funktioniert nicht, wir können es aber mit der Quotientenregel überprüfen: 

(u/v)' = (u'v - uv')/v²

u = a | u' = 0

v = b + cx | v' = c

[0 * (b + cx) - a * c] / (b + cx)² =

-ac / (b + cx)²

 

Passt :-D

 

Besten Gruß

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Funktioniert diese Rechnung oben auch mit x⁴ ?

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Ja, das sollte sie!

Natürlich wird das Ganze dann aber noch etwas unübersichtlicher.

Das Ergebnis sollte dann selbstredend sein:

4x³

Du kannst Dich ja gerne einmal daran versuchen :-)

 

Besten Gruß