Alternative zu L'Hospital

Question

Aufgabe:

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \cos \left( x ^ { 2 } \right) } { ( \arctan ( 2 x ) ) ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } }$$

Problem/Ansatz:

habe folgende Aufgabe. Eine Lösung mit L'Hospital ist möglich, ist aber sehr unschön, weil man dazu die vierte Ableitung benötigt. Meine Frage ist: Hat jemand eine Idee, wie das vielleicht eleganter gehen könnte?

LG ;)

Answer 1

nach der 1. Ableitung (L'Hospital)  kannst Du anwenden:

danach mußt Du aber immer noch 2 Mal L'Hosptal anwenden.

also 3 mal ingesamt. Es ist eine Fleißarbeit.

Lösung:

-3/64

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( 1 - (1 - 1/2(x²)² ) / ( (2x - (2x)³/3)² - 4x² ) → -3/64