Trigonometrie Gleichung 3 sin^{2} x + cos^{2} x = 3

Question

Aufgabe:

Grundmenge= [0; 2 π]

3 sin² x + cos² x = 3

Problem/Ansatz: Wie löse ich diese Aufgabe?

Danke euch schon einmal für eure Hilfe.

Answer 1

sin^2(x) +cos^2(x)=1 ------>cos^2(x)= 1-sin^2(x)

3 sin^2(x) + cos^2(x) = 3

3 sin^2(x) +1-sin^2(x)  = 3

2 sin^2(x) =2

sin^2(x)= 1

usw.

Answer 2

die trigonometrische Identität besagt \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\)
weswegen gilt:
\(\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\)

Somit kannst du deine Gleichung umschreiben zu:
\(\cos^2(x)+(1-\cos^2(x))\cdot 3-3=0\)

Vereinfacht ergibt das \(-2\cos^2(x)=0\), wobei du noch durch -2 dividieren kannst -> \(\cos^2(x)=0\)
Und da gilt \(x^n=0 \Rightarrow x=0\) können wir die Gleichung nochmals vereinfachen zu \(\cos(x)=0\)

Die Nullstellen der allg. Kosinusfunktionen sind im Allgemeinen \(x=\pi n - \dfrac{\pi}{2}\; n\in ℤ\)
In deinem Intervall sind die Lösungen also: \(x_1=\dfrac{\pi}{2},\; x_2=\dfrac{3\pi}{2}\)