Drehungen und Spiegelung im R^2

Question

kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich folgendes zeigen kann? Vielen Dank vorab!

Seien alle Drehungen D_α Drehungen in R² um den Ursprung um den Winkel α und Spiegelungen S_β in R² Spiegelungen an einer Geraden durch den Ursprung, die die positive x-Achse im Winkel β schneidet.

Zeigen Sie algebraisch und mit einer Skizze, dass S_β = D_βS₀D^-1_β eine Spiegelung ist.

Comments

Ist die Gleichung

S_β = D_β·S₀·D_β^-1

so korrekt?

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Stimmt natürlich :)

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Naja. Nur wenn Sβ eine Spiegelmatrix an einer Geraden in Abhängigkeit von β ist dieses β aber nichts über den Anstieg der Geraden aussagt.

Ich habe ja gerade deine andere Aufgabe gemacht und dort war das auch sehr bekloppt definiert.

Wir hatten zumindest die Spiegelmatrix Sβ anders definiert gehabt. Aber eigentlich ist das kein Problem.

Du musst eben nur wissen das diese Gleichung nicht für eine bestimmte Winkeldefinition gilt.

Answer 1

Hallo

1. die Skizze kannst du hoffentlich?

2. kannst du die einzelnen Matrices aufstellen? einfach die Bilder der Einheitsvektoren als Spalten, das kannst du ja aus der Skizze entnehmen.Dann einfach die Matrices multiplizieren.

sonst sag, wo dabei deine Schwierigkeiten liegen.

Gruß lul

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Also ich habe das ganze mal nachgerechnet: 

\( \begin{pmatrix} cos(b) & -sin(b) \\ sin(b) & cos(b) \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} cos(0) & sin(0) \\ sin(0) & -cos(0) \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} cos(b) & sin(b) \\ -sin(b) & cos(b) \end{pmatrix} \)

= \( \begin{pmatrix} cos(b) & sin(b) \\ sin(b) & -cos(b) \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} cos(b) & sin(b) \\ -sin(b) & cos(b) \end{pmatrix} \)

= \( \begin{pmatrix} 2cos(b)^2-1 & 2sin(b)*cos(b) \\ 2sin(b)cos(b) & 1-2cos(b)^2 \end{pmatrix} \)

Wie sieht das bisher so aus? Eigentlich müsste es aber ja die Form: 
\( \begin{pmatrix} cos(b) & sin(b) \\ sin(b) & -cos(b) \end{pmatrix} \)  haben, oder? 

Grafisch weiß ich leider nicht so ganz, wie ich das darstellen kann..

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\( \begin{pmatrix} cos(b) & sin(b) \\ sin(b) & -cos(b) \end{pmatrix} \)

sieht eher aus wie ±

\( \begin{pmatrix} cos(2b) & sin(2b) \\ sin(2b) & -cos(2b) \end{pmatrix} \)

Kontrolliere mal die Vorzeichen. (Doppelwinkelformen)

Kann das geometrisch passen?

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Leider verstehe ich nicht so ganz, was du meinst..

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https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

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Habe verstanden wie man darauf kommt. Damit kommt man auch auf die entsprechende Form einer Spiegelung. Allerdings passt es bei 1-2cos(b)^2 nicht, was du wahrscheinlich mit den Vorzeichen gemeint hast. Leider finde ich den Fehler nicht. Siehst du wo es falsch ist?

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Hallo

 passt doch, denn 1-2cos^2(b)=-cos(2b)

Skizze: nimm den Vektor (1,0) dreh ihn um -b, dannSpiegle an der x-Achse, dann drehe um +b. stelle fest dass das eine Spiegelung an der Geraden mit Winkel b zur x- Achse ist.

 mach dasselbe mit (0,1)

(oder mach es mit einem beliebigen Vektor (a,b))

Gruß lul

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Hi, also irgendwie kann ich mir das nicht so ganz bildlich vorstellen. Um den Winkel -b drehen heißt, mit dem Uhrzeigersinn um den Winkel b drehen, oder? Oder zeichne ich es immer "gegen den Uhrzeigersinn" ein? 

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Hast du dich mit den "ähnlichen Fragen" unten und mit der Frage im Link von Mathecoach auseinandergesetzt?

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Winkel immer gegen den Uhrzeigersinn positiv!

Gruß lul

Answer 2

Also bei mir würde das wie folgt aussehen

Comments

Du siehst hier ist Sβ etwas anders definiert als du es in deiner ersten Aufgabe und auch hier versucht hast einzusetzen.

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Vielen Dank dafür! Das ist mir dann doch etwas klarer :)

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Achso. Die andere Frage war gar nicht von dir

https://www.mathelounge.de/598229

Kann für dich aber auch hilfreich sein.