Hermitesche Sesquilinearform

Question

Aufgabe:

Hi, brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

$$\begin{array} { c } { \text { Es sei } V = \mathbb { C } ^ { n } \text { und } A \in \mathbb { C } ^ { n \times n } \text { eine hermitesche Matrix. Zeigen Sie, dass die Abbildung } } \\ { \langle , \rangle _ { A } : V \times V \rightarrow \mathbb { C } , \langle x , y \rangle _ { A } : = \overline { x } ^ { T } \cdot A \cdot y } \\ { \text { eine hermitesche Sesquilinearform ist. } } \end{array}$$

Problem/Ansatz:

Wir haben in der Vorlesung bereits gezeigt: Ist $$\langle x , y \rangle _ { A }$$ eine Sesquilinearform, so gilt: $$\begin{array} { c }  { \langle x , y \rangle _ { A } = \overline { x } ^ { T } \cdot A \cdot y } \end{array}$$

Wie kann ich nun zeigen, dass $$\langle x , y \rangle _ { A }$$ auch hermitesch ist?

Danke schonmal ;)

Answer 1

" hermitesch "   heißt doch nur    <x,y> =  <y,x> konjugiert.

Mit dem Ergebnis aus der Vorlesung hast du doch

$$\begin{array} { c }  { \langle x , y \rangle _ { A } = \overline { x } ^ { T } \cdot A \cdot y } \end{array}$$

und

$$\begin{array} { c }  { \langle y , x \rangle _ { A } = \overline { y } ^ { T } \cdot A \cdot x } \end{array}$$

und wenn du die rechte Seite der 2. Gleichung  konjugierst bekommt du

die rechte Seite der ersten, weil A hermitesch ist.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Aber würde das nicht voraussetzen, dass die Aussage aus der Vorlesung kommutativ ist?

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Danke für die schnelle Antwort.

Ich verstehe allerdings nicht, warum die 2. Gleichung konjugiert, die erste ergibt.

Könntest du das bitte etetw ausführlicher beschreiben?

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Du musst doch nur zeigen

$$\begin{array} { c }  { \langle x , y \rangle _ { A } }=   \overline { { \langle y , x \rangle _ { A } }  }   \end{array}$$

Deshalb hatte ich das so geschrieben:

$$\begin{array} { c }  { \langle x , y \rangle _ { A } = \overline { x } ^ { T } \cdot A \cdot y } \end{array}$$und$$\begin{array} { c }  { \langle y , x \rangle _ { A } = \overline { y } ^ { T } \cdot A \cdot x } \end{array}$$

Jetzt fehlt für den Nachweis der Gleichung nur,

dass man die 2. Gleichung auf beiden Seiten konjugiert.

Sieht dann so aus:

$$\overline{ { \langle y , x \rangle _ { A }}}=\overline {\overline { y } ^ { T } \cdot A \cdot x } $$

$$={ y } ^ { T } \cdot \overline { A} \cdot \overline { x} $$

Und das ist ja jetzt eine Zahl, also sozusagen eine

1x1 Matrix, die kannst du einfach transponieren und hast dann:

$$=({ y } ^ { T } \cdot \overline { A} \cdot \overline { x})^T $$

und nach den Regeln für das Transponieren dreht sich dann die

Reihenfolge um und das Ergebnis passt, weil A hermitesch ist.

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Jetzt hab ich es. Vielen Dank :))