Injektivität und Surjektivität mithilfe von Vetorraumhomomorphismus beweisen

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper sowie V und W jeweils endlich-dimensionale K-Vektorräume. Weiter sei φ:V→W ein Vektorraumhomomorphismus. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a)  Gilt dim(V)≥1 und dim(W) = 1 sowie φ≠0, so ist φ surjektiv.
(b)  Ist dim(V)>dim(W), so ist φ nicht injektiv.
(c) φ ist genau dann injektiv, wenn φ linear unabhängige Teilmengen von V auf linear unabhängige Teilmengen von W abbildet.

Problem/Ansatz:

Zur (a) habe ich mir bereits folgendes aufgeschrieben:

             dim(V)≥1=dim(W) -> dim(V)≥dim(W)

Und ich verstehe grundsätzlich auch, wieso das so sein muss. Allerdings verstehe ich nicht, wie ich das logisch beweise.

Für die (b) benötigt man, soweit ich das sehen kann, die (a).

DIe (c) verstehe ich auch grundsätzlich, aber auch hier ist der logische Beweis ein Problem für mich.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

dim(V)≥1=dim(W) -> dim(V)≥dim(W)

Wenn a ≥ 1 ist, und 1 = b ist, warum ist dann auch a ≥ b? Das ist doch deine Frage oder?

Answer 1

a) Ein Vektorraumhomomorphismus ist durch die Bilder der Basis eindeutig bestimmt. Sei also

        B_V = (v₁, ..., v_n)

eine Basis von V. Mindestens ein Bildvektor der Basis ist nicht der Nullvektor, weil φ≠0. Dieser Bildvektor ist ein Erzeugendensystem von W.

b) Ein Vektorraumhomomorphismus ist durch die Bilder der Basis eindeutig bestimmt. Ist dim(V) > dim(W), dann ist die Menge der Bilder der Basisvektoren linear abhängig.

c) Ein Vektorraumhomomorphismus ist durch die Bilder der Basis eindeutig bestimmt. Wenn φ linear unabhängige Teilmengen von V auf linear unabhängige Teilmengen von W abbildet, Dann ist das Bild einer Basis von V linear unabhängig.

Comments

Jetzt hab ich es glaube ich verstanden.

Vielen Dank!