Zeigen Sie, dass Dimensionen dim U1+dim U2+dim U3 = dim(U1+U2+U3)+dim((U1+U2)∩U3)+dim(U1∩ U2)

Question

Also die Aufgabenstellung lautet:

Seien U₁, U₂, U₃ drei Unterräume in V, Zeigen Sie, dass 

dim U₁+dim U₂+dim U₃ = dim(U₁+U₂+U₃)+dim((U₁+U₂)∩U₃)+dim(U₁∩ U₂).

Mir ist es klar dass es gilt, weil die dim von den Unterräumen unterschiedlich sein können aber gleiche Vektoren enthalten können, wodurch die rechte Seite etwas komplizierter aussieht. Ich weiß nur überhaupt nicht wie ich beim Beweis vorgehen soll, deswegen bitte ich um Hilfe bei einem Ansatz.  

Answer 1

sei z.B V=U1+U2 dann kannst du die Dimensionsformel benutzen.

Comments

ah hab die dim formel total vergessen, danke :)

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ehm bin jetzt soweit gekommen:

"=>"Sei W=U₁+U₂ und dim W = dim U₁+ dim U₂.

Nach Dimensionsformel gilt:

dim W+ dim U₃ = dim (W+U₃)+dim(W∩U₃) => dim U₁+ dim U₂+ dim U₃ = dim (U₁+U₂+U₃)+dim((U₁+U₂)∩U₃ )

Ich komme aber nicht drauf, wieso auf der rechten seite am ende noch steht "+dim (U₁∩U₂)"

hab versucht es anders aufzulösen aber es klappt trzdm nicht-.-

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 dim(W+U3) = dimW + dimU3 - dim(W schintt U3) 

dann bleibt noch dim(U1+U2) + dim(U3) + dim(U1 schnitt U2) 

dim(U1 schnitt U2) nach Dimensionsformel und du hast L=R

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habs grade raus gehabt, danke nochmal^^

Answer 2

Nach Dimensionsformel gilt:
dim(a + b) = dim(a) + dim(b) - dim(a ∩ b)

Wenn w = v1 + v2 gilt, dann schreiben wir:
dim(w) = sim(v1 + v2) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2)

Da w + v3 = v1 + v2 + v3
dim(w + v3) = dim(w) + dim(v3) - dim(w ∩ v3)

Hier setzte ich für dim(w) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2) ein
dim(w + v3) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2) + dim(v3) - dim(w ∩ v3)

Nun ersetze ich noch w durch v1 + v2
dim(v1 + v2 + v3) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2) + dim(v3) - dim((v1 + v2) ∩ v3)

Wir sortieren das und erhalten:
dim(v1 + v2 + v3) + dim((v1 + v2) ∩ v3) + dim(v1 ∩ v2) = dim(v1) + dim(v2) + dim(v3)

Das ist jetzt genau das, was zu zeigen war.

Answer 3

Ich hab die vorletzte antwort und den weg immer noch nicht verstanden. Dringende bitte um aufklärung pls!

Comments

Ich auch nicht :(

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Ich habe es versucht es nochmal genau herzuleiten.