Spektrum von Matrix bestimmen. Eine Wurzel von χA(T ) ∊ ℂ [T ] erraten. Ist A diagonalisierbar?

Question

Wie betrachten die komplexe Matrix

−3  −1      3 
12   8     -5
-4    1     6

(i) Bestimmen Sie das Spektrum σ(A) ⊂ ℂ, indem Sie eine Wurzel vom charakteristischen Polynom χA(T ) ∊ ℂ [T ] erraten.
(ii) Berechnen Sie die geometrischen Multiplizitäten mλ > 0 der Eigenwerte und entscheiden Sie, ob A diagonalisierbar ist.

Comments

Ich hab mal die Überschrift angepasst.

Answer 1

χA(x ) = x^3 - 11x^2  + 35x - 25

Zum Raten der Nullstellen teste die Teiler von 25 und finde

die Nullstellen 5 und 1.

also  χA(x ) = (x-5)^2 * (x-1)

also hat 5 die alg. Vielfachheit 2 und 1 hat die Vielfachheit 1.

Für die geometrische Vielfachheit berechne die Dimensionen

der Eigenräume:   bei x=5 also8

−8  −1      3 
12    3    -5
-4    1      1

auf Stufenform zeigt:   dim=1

und bei   x=1

−4  −1      3 
12   7     -5
-4    1     5

auch dim=1.  Also Matrix nicht diagonalisierbar.