Wie berechne ich die Momentangeschwindigkeit?

Question

Ich soll von der Funktion s(t) = 1/2 t² die Momentangeschwindigkeit berechnen nach 2 Sekunden, aber ich komme immer auf ein komisches Ergebnis.

Ich habe dazu diese Formel benutzt:

\( f^{\prime}(x)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \)

Das mit dem h habe ich nicht so gut verstanden, deswegen diese Formel.

Wie lautet das Ergebnis?

Answer 1

Ob du das mit den h oder mit deiner Formel machst ist egal.

Bei deiner Formel wäre es ( wegen xo = 2 ) also eigentlich ja t und to :

( f(t) - f(2) ) / ( t-2 ) = (0,5*t^2 - 2) / ( t-2) erweitern mit 2 gibt

                                = ( t^2 - 4 ) / ( 2*(t-2))     binomi. Nr. 3

                                    = ( t - 2  ) * ( t+ 2 )  / ( 2*(t-2))   kürzen mit   (t-2)

                                   = (t+2) / 2

und für t gegen 2 geht das gegen 4/2   =  2   =   f ' (2) .

Mit der h-Methode sähe es so aus : Für h gegen 0 ist zu betrachten

 ( f(2+h) - f(2) ) / h  =( 0,5*(2+h)^2 - 2 ) / h

                             =( 0,5*(4 + 4h + h^2) - 2 ) / h

                             =( 2 + 2h + 0,5h^2) - 2 ) / h

                                       =( 2h + 2´9,5h^2 ) / h     h kürzen

                                      = 2 + 0,5h     für h gegen 0 geht das gegen 2 = f ' (2)

Comments

Ist die Lösung also 2? Ich hab das erste bisschen anders als du gemacht.. bei mir stand dann lim x->2   0,5x²- 2 / x-2 und dann habe ich die polynomdivision angewendet und bin auf 0,5x + 1 gekommen und eingesetzt kommt 2 raus, ist das verkehrt und wieso meint roland das ist nur die durchschnittsgeschwindigkeit?

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bei dieser reihe ist glaube ich ein fehler du hast geschrieben:

=( 0,5*(4 + 4h + h2) - 2 ) / h

=( 2 + 2h + 2h2) - 2 ) / h

aber 0,5 * 1² (bzw. h²) ist doch 0,5 wieder?

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stimmt, da hab ich mich vertan. Ich korrigiere.

Deine Methode aus dem vorletzten Kommentar halte

ich für korrekt. Ergebnis stimmt ja auch.

Answer 2

Deine Formel gilt für eine Durchschnittsgeschwindigkeit vom Zeitpunkt x₀ bis zum Zeitpunkt x.

Für die Momentangeschwindigkeit kennt man entweder Ableitungsregeln,oder man leitet sie mit der h-Methode her.

Comments

aber in diesem video : https://www.youtube.com/watch?v=nUHpW7kiFxo

wird sie auch benutzt um die steigung an einem punkt zu berechnen?

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Ja, das ist die h-Methode, von der du schreibst, dass du sie nicht so gut verstanden hast. Schau dir vielleicht mal dieses Video an:

https://www.youtube.com/watch?v=YiIq2G6Ifm0&t=180s

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Beide Methoden sind OK. Ob lim für h gegen 0 oder

lim für x gegen xo ist egal .

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@mathef, aber roland meinte mit letzteres kann ich keine momentangeschwindigkeit berechnen ?!

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Eben, ich meine das nicht !  Vielleicht hat er das lim- Zeichen

übersehen.

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Die andere Userin meinte das aber auch, Silvia :/

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Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Differenzierbarkeit

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Wenn ich das aber über Ableitungsregeln hätte machen wollen würde, wie würde das aussehen? :I

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s_(t) = 0,5t²

s'_(t) = t

Potenzregel:

$$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}$$