Vektorräume mit Polynomen

Question

Aufgabe:

Bilden die Polynome 2x^2 + 6x, x^2 +5x+1 und 2x+1 eine Basis des Vektorraumes P2 der reellen Polynome vom grad kleiner gleich 2?

Problem/Ansatz:

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Vom Duplikat:

Titel: Vektorräume und Polynome

Stichworte: vektorraum,basis

Aufgabe:

Bilden die Polynome 2x^2 + 6x , x^2 + 5x+1 und 2x +1 eine Basis des Vektorraumes P2 der reellen Polynome vom Grad < = 2 ?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Der Raum ist 3-dimensional. Also bilden die eine Basis genau dann,

wenn sie linear unabhängig sind

a(2x^2 + 6x) + b*(x^2 +5x+1) + c*(2x+1) = 0-Polynom

==> (2a+b)*x^2  + (6a+5b+2c)*x + (b+c) = 0-Polynom

==>  2a+b=0   und  6a+5b+2c=0   b+c= 0

Hat z.B. außer (0,0,0) die Lösung

a=-1   b=2   c= -2 , also sind sie lin. abh. und

bilden somit keine Basis.

Comments

Vielen Dank das Prinzip habe ich verstanden! Nur wieso gehe ich denn davon aus, dass es =0 ist?

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Weil das Nullpolynom in der

Standardbasis 1,x,x^2   NUR

die Darstellung 0*1 + 0*x + 0*x^2 hat.

Answer 2

Kann jedes Polynom ax² + bx + c eindeutig dargestellt werden durch

        ax² + bx + c = p·(2x² + 6x) + q·(x² + 5x+1) + r·(2x +1)?

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert

        ax² + bx + c = (2p+q)x² + (6p+5q+2r)x + (q+r).

Koeffizientenvergleich liefert das lineare Gleichungssystem

        a = 2p+q

        b = 6p+5q+2r

        c = q+r

Comments

Oswald hätte vielleicht noch erwähnwn können, dass sein Gleichungssystem für jedes Tripel (a,b,c) eindeutig lösbar ist.

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Das steht ganz oben im ersten Satz.

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Was glaubst du wohl, warum er es nicht getan hat ?