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Ebenenschargleichung aus Trägergeraden erstellen
Um eine Ebenenschargleichung zu erstellen, deren Ebenen sich alle in der gegebenen Geraden schneiden, benötigen wir zunächst die Parameterform der Geraden. Die Geradengleichung wurde bereits gegeben als:
\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Hierbei ist der erste Vektor der Stützvektor und der zweite Vektor (multipliziert mit dem Parameter \(r\)) der Richtungsvektor.
Eine Ebene, die durch diese Gerade geht, kann mithilfe eines Punktes auf der Geraden und zwei Richtungsvektoren beschrieben werden. Ein Richtungsvektor der Ebene ist bereits durch den Richtungsvektor der Geraden gegeben. Als Punkt der Ebene kann jeder Punkt der Geraden verwendet werden, beispielsweise der Punkt \(P(1; -1; 4)\), wenn wir \(r = 0\) setzen.
Um die Ebenenschargleichung aufzustellen, benötigen wir noch einen weiteren, von dem Richtungsvektor der Geraden linear unabhängigen Vektor. Da alle Ebenen der Schar den Richtungsvektor der Geraden enthalten, wählen wir als Scharparameter \(s\) für den zusätzlichen Richtungsvektor in der Ebene. Ein beliebiger, allgemeiner Richtungsvektor kann \(\vec{b} = \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{pmatrix}\) sein, allerdings sollte \(\vec{b}\) so gewählt werden, dass er nicht parallel zum Richtungsvektor der Geraden \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist.
Um das zu vereinfachen, können wir \(\vec{b}\) als einen Vektor wählen, der orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden steht, was allerdings nicht zwingend notwendig ist. Stattdessen wählen wir einen einfacheren Ansatz und definieren \(\vec{b}\) als variablen Vektor, dessen Komponenten wir als Parameter betrachten, z.B. \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s \end{pmatrix}\). Dieser Vektor ist offensichtlich nicht parallel zum Richtungsvektor der Geraden für \(s \neq 0\).
Die Ebenenschar mit dem Punkt \(P(1; -1; 4)\) und den Richtungsvektoren \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s \end{pmatrix}\) lässt sich dann schreiben als:
\(E_s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Dies stellt eine Familie von Ebenen dar, die alle durch die gegebene Gerade gehen und sich durch den Scharparameter \(s\) unterscheiden.
