Bestimmen sie die Bestapproximation von v durch einen Vektor aus U

Question

Aufgabe:

Im euklidischen Raum R³ mit dem Standardskalarprodukt werden die Vektoren $$v = \begin{pmatrix} 5 \\ -9 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad v_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$und der Untervektorraum $$U = \text{Span} \left( \{v_1 ,v_2 \} \right)$$betrachtet. Bestimmen sie die Bestapproximation \(\hat v\) von \(v\) durch einen Vektor aus \(U\).

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich um die Bestapproximation zu berechnen die Projektion von einem Vektor auf einen anderen Vektor benutzen kann. Versteh nicht ganz die Formulierung aus der Aufgabe 'von \(v\) durch einen Vektor aus \(U\)'.

Sind das nicht unendlich viele Vektoren die im Span von \(v_1\) und \(v_2\) liegen?

Wie komme ich an \(\hat{v}\)?

Bin selber drauf gekommen.

Da \(v_1\) und \(v_2\) orthogonal sind, lässt sich \(\hat{v}\) ausrechnen mit $$ \hat v = \frac{<v,v1>}{<v1,v1>} \cdot v_1 + \frac{<v,v2>}{<v2,v2>}  \cdot v_2$$Ergebnis ist$$\hat v = \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \\ -1 \end{pmatrix}$$Also kann man sagen, um eine Bestapproximation  von einem Vektor zu einem Untervektorraum zu berechnen braucht man eine Orthogonalbasis?

Comments

Gut, dass du selber drauf gekommen bist. Ich hätte jetzt gedacht, dass diejenigen Vektoren die bereits in U liegen so angegeben werden können, wie sie gegeben sind.

Bie Vektoren, die nicht in U liegen, würde ich ihre orthogonale Projektion auf U nehmen, sofern nichts anderes definiert ist als Bestapproximation.

Bestimmen sie die Bestapproximation von v durch einen Vektor aus U.

Was ist v und was ist v1 ?

Ich verstehe nicht genau, was du gerechnet hast.

EDIT: Bezeichnungen nun klar. Vgl. Kommentar unten. 

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Was ist v und was ist v1 ? Ich habe die Bezeichnung angepasst. 

Answer 1

Also kann man sagen, um eine Bestapproximation  von einem Vektor zu einem Untervektorraum zu berechnen braucht man eine Orthogonalbasis?

Wenn Du obige Formel benutzt, setzt Du voraus, dass \( \left<v_1,v_2 \right> = 0\) ist. Das ist richtig. Aber selbstverständlich kannst Du \(\hat v\) auch berechnen, wenn das nicht der Fall ist.

Man berechnet genau den Vektor \(\hat v\) aus \(U\), der zu \(v\) den geringsten Abstand hat. Man kommt dann auf das Gleichungssystem:$$\begin{pmatrix} \left< v_1,v_ 1\right> & \left< v_1,v_2 \right> \\ \left< v_1,v_2 \right> & \left< v_2,v_2 \right> \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left< v,v_1 \right>\\ \left< v,v_2 \right> \end{pmatrix}$$und $$\hat v = x \cdot v_1 + y \cdot v_2$$

Ergebnis ist \(\hat v = \begin{pmatrix} 3 & -9 & -1 \end{pmatrix}^T\)

Das ist richtig.

Anbei nochmal die Szene samt Ergebnis in Geoknecht3D (Massstab 1:2)

Gruß Werner

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Vielen Dank Werner!