Binomialkoeffizienten mit Summenzeichen und vollständiger Induktion beweisen

Question

ich möchte den Bionominalkoeffizienten beweisen, mit dem Summenzeichen und vollständiger Induktion. Es wäre sehr nett, wenn einer nur einmal diesen Beweis kurz mit Erklärung hinschreibt.

Comments

Du musst schon sagen welche Formel du

beweisen willst und welche Definition du

benutzen kannst.

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Wenn du (n über k) als Anzahl der Möglichkeiten meinst, k aus n auszuwählen, dann musst du einmal Induktion über n und einmal über k machen.

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Genau ich meine n über k. Könnte mir das einer kurz vorrechnen

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Hallo

 du hast offensichtlich keine Lust, irgend ne Formel hinzuschreiben, und nen Anfang zu machen, oder zu sagen, wo du scheiterst. Aber hier soll das jemand?

lul

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Ich weiß nicht wie ich anfangen soll

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"kurz vorrechnen" wird wohl nicht möglich sein. Es wird ein etwas längerer Beweis.

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Wie will man denn eine "Nichtaussage" wie den Binomialkoeffizienten beweisen?

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Vielleicht ein kleines Video dazu

https://www.youtube.com/watch?v=TeOzV6DZhW4

Sag, wenn du dort etwas nicht verstehst.

Answer 1

Wenn du k Elemente aus n Elementen ziehst.

Hast du

für das 1. Element n Möglichkeiten

für das 2. Element (n - 1) Möglichkeiten

für das 3. Element (n - 2) Möglichkeiten

für das k. Element (n - k + 1) Möglichkeiten

Entsprechend dem Fundamentalprinzip der Kombinatorik sind das

n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1) Möglichkeiten

Wir erweitern mit (n - k)! und erhalten

n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1) * (n - k)! / (n - k)! = n! / (n - k)!

Da hierbei noch die Reihenfolge der Ziehung eine Rolle spielt müssen wir durch die Anzahl der Reihenfolgen teilen, in der k. Elemente gezogen werden können und erhalten

n! / (k! * (n - k)!)

Das war die kurze Herleitung der Formel.

Comments

Allerdings fehlen Summenzeichen und vollständige Induktion.

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Dieses ist die gängige Herleitung des Binomialkoeffizienten in der Kombinatorik.

Ein typischer Beweis mittels vollständiger Induktion wäre z.B. der Beweis

(n über k) = (n-1 über k-1) + (n-1 über k)

Aber da der Fragesteller bisher unfähig war genau zu sagen was es zu beweisen galt ist das etwas sinnlos jetzt ins blaue zu raten.

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Das der Ausdruck des Binomialkoeffizienten (n über k) berechnet wird als n! / (k! * (n - k)!) kann man übrigens nicht beweisen, weil das eine Festlegung/Definition war.

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Wie sehe es denn aus mit dem Summenzeichen??

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Du musst schon sagen welche Formel du beweisen willst und welche Definition du benutzen kannst.

Du bist bereits mehrfach aufgefordert klar zu sagen was du beweisen möchtest und zu sagen was du benutzen darfst.

Wenn du dich nicht klar ausdrücken kannst ist es hilfreich die Aufgabe exakt so wie sie dir vorliegt zu stellen.

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JJa, also n über k das will ich beweisen

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n über k ist definiert. da gibt es nichts zu beweisen.

(n über k) = n! /(k! * (n-k)!)

Herleitung habe ich oben hingeschrieben wie man auf den Ausdruck kommt.

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ah okay, das war mein denkfehler, dankeschön!!