Kiesgrube: Lineare Optimierung

Question

Aufgabe:

Der Betreiber zweier Kiesgruben hat als einzigen Abnehmer seiner Produkte eine große Baustofffabrik. Laut Liefervertrag müssen wöchentlich mindestens geliefert werden: 120 Tonnen Kies, 240 Tonnen mittelfeiner Sand und 80 Tonnen Quarz. Die täglichen Förderleistungen in den beiden Kiesgruben lauten:

Kiesgrube 1	60t Kies	40t m.f. Sand	20t Quarz
Kiesgrube 2	29t Kies	120t m.f. Sand	20t Quarz

Pro Fördertag entstehen folgende Betriebskosten

Kiesgrube 1: 2000€/ Tag

Kiesgrube 2: 1600€/ Tag

Gesucht ist die Anzahl der wöchentlichen Fördertag in jeder der beiden Gruben, die zu minimalen Förderkosten (Pro Woche) führt.

Problem:

Für die Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz; Ich wäre sehr dankbar für eine ausführliche Beschreibung/ oder hilfreiche Ansätze für die Berechnung dieser Aufgabe

Comments

Wie bilde ich die Zielfunktion aus dieser Aufgabe

Zielfunktion  --> Min

Restriktionen:

60x1 + 40x2 + 20x3  >= 2000

20x1 + 120x2 + 20x3 >= 1600

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"jeglicher Ansatz"

beginnt mit dem Aufstellen der mathematischen Aussagen in formaler Darstellung.

z.B.:

Kiesmindestfördermenge = Kies aus Grube 1 mal Tage Grube 1 + Kies aus Grube 2 mal Tage Grube 2

Wähle sinnvolle mnemonische Abkürzungen, die nicht zu Verwechslungen mit den sonst gängigen Bezeichnern der WiWi führen. Als K nicht für Kies verwenden, weil K gewöhnlich Kosten sind.

Lerne solche Ansätz sicher umzusetzen - das gibt schon Punkte in der Klausur und ohne vernünftig nachvollziehbaren Ansatz ist jede weitere "Berechnung" pure Zeitverschwendung.

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"60x1 + 40x2 + 20x3  >= 2000"

60 Tonnen Kies plus 40 Tonnen Sand plus 20 Tonnen Quarz gleich 2000 Euro

???

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Zielfunktion: Z = 2000x + 1600 → Min.
Restriktionen:

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Korrektur: Kiesgrube 2: 20t Kies statt 29

Zielfunktion: Z = 2000x + 1600y → Min.

Restriktionen

60x + 20y >= 120

40x + 120y >= 240

20x + 20y >= 80

Korrekt? Wie gehe ich weiter vor?

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60x + 20y >= 120
40x + 120y >= 240
20x + 20y >= 80

jeweils zwei der drei Gleichungen zu einem GLS in Beziehung setzen, um die "interessanten" Punkte zu erhalten:

$$\begin{pmatrix} 60 & 20 \\ 40 & 120 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 120 \\ 240 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 60 & 20 \\ 20 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 120 \\80 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 20 & 20 \\ 40 & 120 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 80 \\ 240 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Bestimme das Minimum von

        2000x + 1600y

unter den Nebenbedingungen

        60x + 29y ≥ 120,

        40x + 120y ≥ 240,

        20x + 20y ≥ 80,

        x ≤ 7,

        y ≤ 7

mit dem Simplex-Algorithmus.

x ist die Anzahl der Tage an denen in Kiesgrube 1 gearbetet wird.

y ist die Anzahl der Tage an denen in Kiesgrube 2 gearbetet wird.