Auf Symmetrie untersuchen: f(x) = 1/3 x³ - x²

Question

f(x) = 1/3 x³ - x²

meine Berechnung:

f(-x) = -1/3x³+x²

-f(x)=-1/3x³+x²

so soll eine punktsymmetrie vorhanden sein, dadurch, dass f(-x)=-f(x)

dadurch, dass wir ² und ³ haben, sollte, denke ich, keine standardsymmetrie vorhanden sein. wo habe ich ein fehler gemacht? ich glaube ich verwechsle immernoch -f(x) und f(-x)...

Comments

Richtig: f ist nicht punktsymmetrisch bezüglich O(0,0)

Ergänzung: 

Alle Graphen von Polynomen 3. Grades sind symmetrisch bezüglich ihrem Wendepunkt W. 

Was du hier prüfst, ist in die Punktsymmetrie bezüglich O(0,0). Das ist auch das, was bei Kurvendiskussionen verlangt ist.

Answer 1

f(-x) bedeutet, dass du den Wert, den du für x einsetzt negierst, -f(x) bedeutet, dass du den Funktionswert negierst.

In deinem Beispiel existiert keine Symmetrie, da

\(f(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2\\ f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{3}-(-x)^2\\ -f(x)=-\left(\dfrac{x^3}{3}-x^2\right)\)

Für eine Punktsymmetrie zum Ursprung muss gelten: f(-x)=-f(x)

\(\dfrac{(-x)^3}{3}-(-x)^2 \stackrel{?}{=} -\left(\dfrac{x^3}{3}-x^2\right) \Rightarrow f\)

Du hast aber mit deiner Argumentation auch recht. Für eine Achsensymmetrie dürfen nur gerade Potenzen vorkommen, für eine PS zum Ursprung nur ungerade.