Sei f: V→W eine lineare Abbildung und (v1,···, vn) ein System. Zeigen Sie, dass vn linear unabhängig ist

Question

Aufgabe:

Sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung und sei \( \left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right) \) ein System.

Zeigen Sie, dass falls \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) linear unabhängig ist, dann ist \( \left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right) \) linear unabhängig.

Answer 1

Beweis durch Widerspruch.

Annahme (v1,…,vn) sind linear abhängig. So lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination der andern schreiben. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei das v1. (Man ordnet sie gegebenenfalls neu an)

Also v1 = av2 + bv3 + cv4 … + mv_n          mit (a,b,c,…m) Element IR^n-1

Somit ist f(v1) = f(av2 + bv3 + cv4 … + mv_n ) 

Nun ist f nach Voraussetzung eine lineare Abbildung. Deshalb gilt

f(v1)= f(av2 + bv3 + cv4 … + nv_n ) =  af(v2) + bf(v3) + cf(v4) … + mf(v_n ) 

Nun steht hier aber f(v1) als eine Linearkombination von f(v2), f(v3)…f(v_n)

Das widerspricht der Voraussetzung in der Aufgabe.

Folge: Die Annahme ist falsch. v1,…vn sind linear unabhängig.