Umkehrfunktion von f(x) = (x-3)*(x-4)

Question

Aufgabe:

Umkehrfunktion von f(x) = (x-3)*(x-4) mit Definitions- und Wertebereich

Answer 1

durch ausmultiplizieren erhältst du \(y=x^2-7x+12\)

Nun vertauschen wir die Variablen x,y: \(x=y^2-7y+12\) und lösen nun nach y auf:

\(x=y^2-7y+12 \\ \Leftrightarrow  0=y^2-7y+12-x\\\)

Und dann z.B. mit einer quadratischen Formel (abc/pq-Formel lösen)

Du erhältst: \(y_1=\dfrac{7+\sqrt{4x+1}}{2},\, y_2=\dfrac{7-\sqrt{4x+1}}{2}\)

Für den Definitionsbereich hättest du hier als Begrenzung, dass das Argument der Wurzel nicht kleiner null sein darf.

Setzt du nun diese untere Begrenzung für x ein, was wäre dann dein max. Funktionswert (bzw. dein minimaler bei der anderen Lösung)?

Comments

Sind die beiden Lösungen wirklich identisch?

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Vor der 2. Wurzel sollte wohl ein Minuszeichen stehen.

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\(x=y^2-7y+12 \\ \Leftrightarrow  0=y^2-7y+\color{red}{12}\\\)

Da sollte wohl  \(y^2-7y+\color{blue}{12-x} = 0\\\)  stehen.

Answer 2

f(x) = (x-3)*(x-4) stellt eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 3 und 4 dar.

Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte bei x = 3,5,  S(3,5 | - 0,25)

Für  x ≤ 3,5  (x ≥ 3,5)  ist die Funktion streng monoton fallend (steigend).

Deshalb gibt es nur Umkehrfunktionen, für die der Definitionsbereich in einem dieser beiden Bereiche festgelegt wird. Z.B.

f₁ :  ] −∞ ; 3,5 ] → [ - 0,25 ; ∞ [ ,  x ↦ (x-3) ·(x-4)

   Umkehrfunktion: [ - 0,25 ; ∞ [  →   ] −∞ ; 3,5 ]  ,     x ↦  (7 - √(4·x + 1)) / 2

f₂:   [ 3,5 ; ∞ [  →  [ - 0,25 ; ∞ [ ,  x ↦ (x-3) ·(x-4)

   Umkehrfunktion: [ - 0,25 ; ∞ [  →  [ 3,5 ; ∞ [  ,    x ↦  (7 - √(4·x + 1)) / 2                                     

Die Vorschriften hat Larry dir ja bereits vorgerechnet.

Für die Ausgangsfunktionen:

Definitionsbereiche  ,  Identische Wertemengen  (oberhalb des y-Werts des Scheitelpunktes)

Gruß Wolfgang