Konvergenz von Reihen, wenn Grenzwert=1

Question

Aufgabe:

∑ ak= k^k/(k+1)!

Untersuche auf absolute Konvergenz/Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert. 
Problem/Ansatz:

Ich habe das Quotientenkriterium angewendet und kam auf lim ak= 1

Was heißt es jetzt? Ist der Grenzwert jetzt 1? Und woher weiß ich, ob die Reihe konvergiert oder nicht? Bisher dachte ich immer, dass man mit dem Quotientenkriterium und Wurzelkriterium auf absolute Konvergenz prüfen kann. Wenn der Wert < 1, dann konvergiert die Reihe absolut. Wenn >1 dann divergiert sie. Und = 1 ?

Hat jemand Tips, wie ich bei solchen Aufgaben am sinnvollsten rangehe?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Die Summanden bilden keine Nullfolge.

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Was heißt das für = 1?

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Wenn die Summanden keine Nullfolge bilden, liegt keine Konvergenz vor.

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Hast du einen Trick, wie man das mit bloßem hingucken sieht? Oder muss man das ausrechen. Kannst du deinen Gedankengang bisschen schildern :o...

Answer 1

Quotientenkriterium geht auch:

a_k+1/a_k = (k+1)^(k+1) * (k+1)!   /   (    k^k * (k+2)! )   kürzen

= (k+1)^(k+1)  /   (    k^k * (k+2) )

=(k+1) * (k+1)^k  /   (    k^k * (k+2) )

=(k+1)/(k+2)  * (k+1)^k  /     k^k

=(k+1)/(k+2)  *     (  (k+1) /     k) ^k

=(k+1)/(k+2)  *     (  (1 +1/k) ^k

Der erste Faktor geht gegen 1, der zweite gegen e,

also Grenzwert = e > 1

==>  Reihe divergent.

Comments

stimmt..

Und nehmen wir mal an, da kommt genau 1 raus. Was bedeutet das dann? Konvergenz oder Divergenz?

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Dann kann man nichts sagen.

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Was schreibt man dann dahin ? Reihe weder konvergent noch divergent ?

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Genauer: Mit Hilfe des Quotientenkriteriums

nicht entscheidbar.