Teleskopsumme richtig umformen

Question

Aufgabe:

$$ \frac { 1 } { 4 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 }  - \sum _ { n = 1 } ^ { N} \frac { 1 } { n + 1 / 2 } \right) $$

Problem/Ansatz:

Wie forme ich diese Teleskopsumme richtig um ? Ich hab bei der zweiten Summe jetzt für n -> n+1 eingesetzt. Dann wird aus n+1/2 -> n- 1/2 und ich kann sie zusammenfassen. Dadurch steht dann aber unten bei der zweiten Summe doch n = 2 unten und oben N+1.Wenn ich diese Dinge noch aus der Summe rausziehe dann heben sich die Summen auf und mein Ergebnis wäre + (1/4) * 2 -   minus 1 / ((N+1) -(1/2))

Irgendwas mache ich falsch bei der Indexverschiebung. Das Ergebnis würde stimmen wenn sich oben das N nicht verändert wenn ich n auf n+1 setze um die Summen anzugleichen. Wo ist der Fehler. Verändert sich das N oben hier vielleich aus irgendeinem Grund nicht?

Answer 1

Hallo

Wenn du die Summe mit Pünktchen schreibst, stellst du fest, dass das erste Glied der ersten Summe stehen bleibt und das letzte der zweiten.

Damit weisst du was zu tun ist, du schreibst beide Summen ab n=2 bis N und schreibst die 2 dann übrig bleibenden Summanden einzeln.

Gruß lul

Comments

Könntest du die umformungen vielleicht aufschreiben, dann kann ich besser nachvollziehen wo die Reihen zusammengefasst werden und welche Werte übrig bleiben... :) Danke

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Müsste sich denn nicht das große N oben verändern wenn ich das n durch eine Substitution von n + 1/2 zu n-1/2 ändere?

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$$ \begin{array} { l } { \quad \frac { 1 } { 4 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 } - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n + 1 / 2 } \right) } \\ { = \frac { 1 } { 4 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 } - \sum _ { n = 2 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 } \right) } \\ { = \frac { 1 } { 4 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 } - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 } \right) + \frac { 1 } { 4 } \cdot \frac { 1 } { 1 - 1 / 2 } } \end{array} $$

Mein Rechenweg

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Hallo

$$  \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 }  - \sum _ { n = 1 } ^ { N} \frac { 1 } { n + 1 / 2 } =\frac { 1 } { 1 - 1 / 2 }+( \sum _ { n = 2 } ^ { N } \frac { 1 } { n - 1 / 2 } -\sum _ { n = 2 } ^ { N} \frac { 1 } { n - 1 / 2 }) + \frac { 1 } { N+1 - 1 / 2 }$$

lul

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Danke, ja so hatte ich das auch, und wie geht man jetzt mit dem letzen Teil der da steht um? diesem 1 / N+1 - 1/2 ? Ich komme ja auf die richtige Lösung wenn ich den Einfach ignoriere. Oder geht das für lim n -> unendlich gegen 0?

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1/(1-1/2) + 1/(N+1-1/2) = 1/(1/2) - 1/(N + 1/2) = 2 - 1/((2N +1)/2) = 2 - 2/(2N+1)

Das kannst du mit ein 1/4 multiplizieren und dann so stehen lassen.

Bis jetzt steht nicht in der Frage, dass N gegen unendlich geht. D.h. bis jetzt ist N eine natürliche Zahl.

Grenzwert wäre dann 1/4 * 2 = 1/2