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Seien f: V→W und g: W→U zwei lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen
Ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist ein Vektorraum, dessen Basis aus einer endlichen Anzahl von Vektoren besteht. Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis des Vektorraums. Die Tatsache, dass die Vektorräume \(V\), \(W\) und \(U\) endlich-dimensional sind, gewährleistet, dass ihre Dimensionen durch ganze Zahlen ausgedrückt werden können, was bei der Lösung der Aufgabe eine Rolle spielen wird.
Zu beweisen ist die Ungleichung:
\( Rg(f) + Rg(g) \leq Rg(g \circ f) + \dim(W) \)
Hier sind die Bedeutungen der verwendeten Begriffe:
- \(Rg(f)\) und \(Rg(g)\) stehen für die Ränge der linearen Abbildungen \(f\) und \(g\), was der Dimension ihrer Bildräume entspricht.
- \(g \circ f\) bedeutet, dass die Funktion \(f\) zuerst angewendet wird und dann die Funktion \(g\) auf das Ergebnis von \(f\).
- \(\dim(W)\) ist die Dimension des Vektorraums \(W\), also die Anzahl der Vektoren in einer Basis von \(W\).
Schritte zum Beweis der Ungleichung:
1.
Verständnis der Bildräume und Kerne: Die Bildräume (oder Range) der Funktionen \(f\) und \(g\) sind definiert durch die Vektoren, die durch die Anwendung von \(f\) bzw. \(g\) auf die entsprechenden Vektorräume erzeugt werden. Der Kern einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
2.
Verwendung des Dimensionssatzes: Der Dimensionssatz (auch bekannt als Rangsatz) besagt, dass für eine lineare Abbildung \(h: X \rightarrow Y\) gilt:
\( \dim(X) = \dim(\text{Ker}(h)) + Rg(h) \)
Dieser Satz hilft zu verstehen, wie sich die Dimensionen über die Komposition von Funktionen verhalten.
3.
Über die Ungleichung: Beginnen wir mit dem Rang der Komposition \(g \circ f\). Die Komposition \(g \circ f: V \rightarrow U\) nimmt Vektoren aus \(V\), wendet zuerst \(f\) an, um einen Vektor in \(W\) zu erhalten, und dann \(g\), um einen Vektor in \(U\) zu erhalten. Der Kern dieser Komposition enthält alle Vektoren in \(V\), die nach Anwendung von \(f\) und darauf folgendem \(g\) auf den Nullvektor in \(U\) abgebildet werden.
Um die Ungleichung herzuleiten, betrachte man, dass der Rang von \(g \circ f\) beschränkt ist durch die Anzahl der Vektoren, die nach Anwendung von \(f\) erreichbar sind (das ist \(Rg(f)\)), welche dann als Eingabe für \(g\) dienen. Daher ist der Bildraum von \(g \circ f\) direkt abhängig von \(Rg(f)\).
4.
Anwendung auf der Ungleichung: Beachte, dass Rg(f) die Dimension des Bildraumes von \(f\) ist und Rg(g) die Dimension des Bildraumes von \(g\). Der Bildraum von \(g \circ f\) kann nicht größer sein als die Dimension von \(W\), da alle Bilder zuerst in \(W\) landen, bevor sie eventuell weiter in \(U\) abgebildet werden. Daher gilt, dass:
\( Rg(f) \leq \dim(W) \)
und
\( Rg(g) \leq \dim(W) \)
Jetzt kommt der Schlüsselaspekt: Der kombinierte Effekt dieser Abbildungen (dargestellt durch \(g \circ f\)) wird durch die direkte Wirkung jeder Abbildung auf ihren ursprünglichen Bildraum begrenzt. Folglich ist die Summe der Ränge von \(f\) und \(g\) begrenzt durch die Dimension von \(W\) plus den Rang der Komposition \(g \circ f\), weil \(\dim(W)\) den Raum repräsentiert, innerhalb dessen die Bildräume beider Abbildungen vermitteln. Daher zeigt sich, dass:
\( Rg(f) + Rg(g) \leq Rg(g \circ f) + \dim(W) \)
Dieser Beweis nutzt die Prinzipien des Dimensionssatzes und die Tatsache, dass die Bildräume und Kerne lineare Unterräume sind, deren Dimensionen in den endlich-dimensionalen Vektorräumen \(V\), \(W\) und \(U\) wohldefiniert und signifikant für die Beschreibung der linearen Abbildungen zwischen ihnen sind.
